Άθροισμα δυνάμεων

#1

Αν $\displaystyle {a^4} + \frac{1}{{{a^4}}} = 47,$ να βρείτε το $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}}.$

24 ώρες για μαθητές.

Batapan · #2

Λύση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

vgreco · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 27, 2022 9:30 am
Αν $\displaystyle {a^4} + \frac{1}{{{a^4}}} = 47,$ να βρείτε το $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}}.$

24 ώρες για μαθητές.

Πιο απλά:

$\displaystyle{ a^4 + \dfrac{1}{a^4} = 47 \Leftrightarrow a^4 + 2 + \dfrac{1}{a^4} = 49 \Leftrightarrow a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 7 }$

αφού $\rm LHS > 0$ .

Μετά:

$\displaystyle{ a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 7 \Leftrightarrow a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 9 \Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} = \pm 3 }$

Και έτσι:

$\displaystyle{ a^3 + \dfrac{1}{a^3} = \left(a + \dfrac{1}{a} \right) \left(a^2 - 1 + \dfrac{1}{a^2} \right) = 6 \left(a + \dfrac{1}{a} \right) = \pm 18 }$

Άθροισμα δυνάμεων

Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Μέλη σε σύνδεση