Σύστημα 4Χ4

#1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x+y^3 +z = 4}$

$\displaystyle{z+y^3 +w = 5}$

$\displaystyle{x+z+w = 7}$

$\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 +w^2 = 17}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Τρί Ιαν 03, 2023 8:03 pm Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x+y^3 +z = 4}$

$\displaystyle{z+y^3 +w = 5}$

$\displaystyle{x+z+w = 7}$

$\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 +w^2 = 17}$

Αρχικά δουλεύουμε με τις τρεις πρώτες εξισώσεις όπου με αφαίρεση κατά μέλη των (2),(1)

και

προκύπτει

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} w - {y^3} = 1 \hfill \\ x - {y^3} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{w=x+1}$ Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην (3)

και παίρνουμε $\boxed{z=6-2x}$ Τέλος, αντικαθιστούμε σε μία από τις δύο πρώτες και βγαίνει $\boxed{y^3=x-2, x\ge 2}$ (*)

Πάμε τώρα στην τελευταία εξίσωση και αντικαθιστούμε τους y, z, w.

$\displaystyle {x^2} + {\left( {\sqrt[3]{{x - 2}}} \right)^2} + {(6 - 2x)^2} + {(x + 1)^2} = 17 \Leftrightarrow 2(3{x^2} - 11x + 10) + {\left( {\sqrt[3]{{x - 2}}} \right)^2} = 0$

$\displaystyle 2(x - 2)(3x - 5) + {\left( {\sqrt[3]{{x - 2}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{x - 2}}} \right)^2}\left( {2(3x - 5)\sqrt[3]{{x - 2}} + 1} \right) = 0,$

απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα $\boxed{x=2}$ Εύκολα τώρα, $\boxed{y=0, z=2, w=3}$

(*) Αν x< 2,

εργαζόμαστε ανάλογα (οι λύσεις δεν αλλάζουν).

Σύστημα 4Χ4

Σύστημα 4Χ4

Re: Σύστημα 4Χ4

Μέλη σε σύνδεση