Πω πω δυνάμεις.

#1

Αν $a, \,b, \, c, \, d, \, e$ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με a^b=b^c=c^d=d^e=e^a

, δείξτε ότι όλοι είναι ίσοι μεταξύ τους.

#2

Ανοικτή σε όλους.

abfx · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Οκτ 02, 2023 11:32 pm Αν $a, \,b, \, c, \, d, \, e$ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με , δείξτε ότι όλοι είναι ίσοι μεταξύ τους.

Ας υποθέσουμε (προς άτοπο) ότι δεν είναι όλοι ίσοι μεταξύ τους.

Τότε, τουλάχιστον ένα από τα ζεύγη (a,b) , (b,c) , (c,d) , (d,e) , (e,a)

αποτελείται από διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς.

Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι $a\neq b$ (αλλιώς μεταθέτουμε κυκλικά τον συμβολισμό).

Αν , τότε , αλλιώς θα είχαμε $a^b<b^b\leq b^c$ . Με όμοιο σκεπτικό βρίσκουμε ότι:
$b>c \implies c<d \implies d>e \implies e<a \implies a>b$ , άτοπο, λόγω αρχικής υπόθεσης.

Αν , τότε όμοια με πάνω έχουμε:
$a>b\implies b<c \implies c>d \implies d<e \implies e>a \implies a<b$ , πάλι άτοπο.

Πω πω δυνάμεις.

Πω πω δυνάμεις.

Re: Πω πω δυνάμεις.

Re: Πω πω δυνάμεις.

Μέλη σε σύνδεση