Είναι το τρίγωνο ισόπλευρο?

[dimplak]

Αν σε τρίγωνο , η διάμεσός του , η διχοτόμος του και το ύψος του είναι ίσα και διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε αυτό είναι ισόπλευρο;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

1. Τα μηνύματα πρέπει να είναι γραμμένα στα Ελληνικά (αν παρατίθεται ξενόγλωσσο κείμενο πρέπει να συνοδεύεται από μετάφραση), ορθογραφημένα, και με τονιζόμενες τις λέξεις. Μηνύματα σε άλλη γλώσσα, σε greeklish, κεφαλαία ή χωρίς τόνους δεν είναι αποδεκτά. Εξαιρούνται περιπτώσεις όπου χρησιμοποιείται υπολογιστής (πρέπει να αναφέρεται στο μήνυμα) που δεν διαθέτει Ελληνικούς χαρακτήρες.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Η προηγούμενη ανάρτηση μου είναι για το ? στον τίτλο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ισχύει. Εχω λύση εκτός φακέλου.

Με ανυπομονησία περιμένω λύση του προβλήματος που να βασίζεται φυσικά σε αυτόν τον φάκελο.

[george visvikis]

Ίδια με τον Σταύρο. Έχω λύση εκτός φακέλου. Ας αναμείνουμε λοιπόν τη "νόμιμη" λύση...

[Ορέστης Λιγνός]

Αν σε τρίγωνο , η διάμεσός του , η διχοτόμος του και το ύψος του είναι ίσα και διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε αυτό είναι ισόπλευρο;

Από το θεώρημα του Ceva, για τις σεβιανές , έχω ότι , άρα , οπότε , δηλαδή το είναι τραπέζιο, και αφού , έχει ίσες διαγώνιες, άρα είναι ισοσκελές.

Οπότε, είναι και εγγράψιμο, άρα , άρα , και η είναι διχοτόμος, άρα το είναι ισοσκελές, με .

Ακόμη, οι είναι ύψη άρα το σημείο που τέμνονται είναι το ορθόκεντρο, και αφού η περνάει από το σημείο αυτό, έχω και διάμεσος, άρα .

Τελικά, ισόπλευρο.

(Για τη λύση αρκεί να έχουμε ότι η διάμεσος το ύψος και η διχοτόμος συντρέχουν και ότι )

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Σε αναμονή για την ''νόμιμη'' λύση ας δούμε λίγο απλούστερα την ''παράνομη'' λύση του Ορέστη.

Από το θεώρημα του Ceva, για τις σεβιανές , έχω ότι , άρα , οπότε , δηλαδή το είναι τραπέζιο, και αφού , έχει ίσες διαγώνιες, άρα είναι ισοσκελές.

Ετσι

Αρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελές στο .

Ετσι αναγκαστικά η θα είναι και ύψος και η θα είναι και διχοτόμος.

Ετσι και οι δύο θα είναι ύψη, διχοτόμοι, διάμεσοι οπότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

.(Για τη λύση αρκεί να έχουμε ότι η διάμεσος το ύψος και η διχοτόμος συντρέχουν και ότι )



Να σημειώσω ότι χρησιμοποίησα αυτούσια κομμάτια της απόδειξης του Ορέστη.

[Xriiiiistos]

διαγραφή λανθασμένης απάντησης

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Ίδια με τον Σταύρο. Έχω λύση εκτός φακέλου. Ας αναμείνουμε λοιπόν τη "νόμιμη" λύση...

Για να δούμε και ''νόμιμη'' λύση.
Χρειάζεται μόνο ότι συντρέχουν και .
Επίσης αν δεν μου έχει ξεφύγει κάτι δεν χρειάζεται το αξίωμα των παραλλήλων.

Αν η είναι και ύψος
τότε το είναι ισοσκελές στο οπότε η είναι και διάμεσος
και εύκολα το τρίγωνο βγαίνει ισόπλευρο.

Διαφορετικά εύκολα δείχνουμε ότι
Στην παίρνουμε σημείο ώστε .
Το είναι ισοσκελές στο .
Το ύψος του βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και περιέχει το .
Η είναι φορέας ύψους του .
Η και το ύψος του τέμνονται σε σημείο του ημιεπιπέδου που ορίζει
και περιέχει το .
ΑΤΟΠΟ αφού οι πρέπει να συντρέχουν αφού όλες είναι φορείς ύψων του .
Αρα η είναι και ύψος οπότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Αν σε τρίγωνο , η διάμεσός του , η διχοτόμος του και το ύψος του είναι ίσα και διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε αυτό είναι ισόπλευρο;

Αν έχει την ευγενή καλοσύνη μπορεί ο θεματοδότης να μας περιγράψει την λύση που είχε υπ όψιν του;
Με τρώει η περιέργεια.

[dimplak]

Ευχαριστώ για τις ιδέες σκέψεις πάνω στο θέμα. Δυστυχώς λόγω υποχρεώσεων δεν έχω καταφέρει ακόμα να τις επεξεργαστώ.

Το θέμα αυτό είναι ένα από τα θέματα που έχω σκεφτεί τον τελευταίο καιρό πάνω στα κριτήρια ισότητας και τις ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο.

Πολλά θέματα που σκέφτηκα, κατάφεραν να λυθούν μόνο με κριτήρια ισότητας, άλλα όχι (ακόμα). Όμως "απαιτώ" διδακτικά αυτούς τους περιορισμούς

κι αν μπορέσουν ας λυθούν, εκτός κι αν μπορεί να αποδείξει κάποιος ότι δεν μπορούν να λυθούν με τη σχολική ύλη που προτείνω.

Υ.Γ. Αν και όπως είπα, έχω πολλή περιορισμένο χρόνο, αν έχω προσωπικά κάποια ολοκληρωμένη σκέψη κι όχι πρόχειρες ιδέες , θα την παρουσιάσω. Ευχαριστώ και πάλι.

[george visvikis]

Μία παράνομη λύση:

Αρκεί να δείξω ότι Στη συνέχεια, αφού τα ύψη είναι ίσα, θα είναι και

Είναι ισόπλευρο;.png (12 KiB) Προβλήθηκε 1635 φορές

Λόγω της διχοτόμου είναι κι επειδή θα είναι

Αλλά άρα και και το ζητούμενο έπεται.


Αυτό που επιτρέπεται χρήση Θαλή και ομοίων τριγώνων στη Γ Γυμνασίου, αλλά απαγορεύεται στην Α Λυκείου, θα με τρελάνει.