Γωνίες τριγώνου

#1

: βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 1912 φορές

Στο $\vartriangle ABC$ , η

είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$

Ορέστης Λιγνός · #2

Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm
βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png
Στο $\vartriangle ABC$ , η είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$

Καλησπέρα!

Φέρνω, $CQ \perp AM$ , οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$ .

Επίσης η συνθήκη δίνει ότι η

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle MAB$ , οπότε $CA^2=CM \cdot CB$ , άρα $CA=CM \sqrt{2}=2CQ$ .

Συνεπώς CA=2CQ

, άρα $\angle CAQ=30^\circ$ , δηλαδή $\angle B=30^\circ$ , και εύκολα έπεται ότι $\angle C=15^\circ$ και $\angle A=135^\circ$ .

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm
Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png

Στο $\vartriangle ABC$ , η είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$
Καλησπέρα!

Φέρνω, $CQ \perp AM$ , οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$ .

Επίσης η συνθήκη δίνει ότι η εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle MAB$ , οπότε $CA^2=CM \cdot CB$ , άρα $CA=CM \sqrt{2}=2CQ$ .

Συνεπώς , άρα $\angle CAQ=30^\circ$ , δηλαδή $\angle B=30^\circ$ , και εύκολα έπεται ότι $\angle C=15^\circ$ και $\angle A=135^\circ$ .

Ορέστη καλησπέρα . Ευχαριστώ για τη λύση . Αναμένω πάντως και λύση εντός φακέλου ( Έτσι μου το έδωσαν και μου απαίτησαν να το λύσω )

Κάτι ακόμα. Είσαι γνωστός τοις πάσι και σημείο αναφοράς της συντριπτικής πλειοψηφίας των δυνατών μαθητών στα μαθηματικά.

Θα σε παρακαλούσα στα θέματα Γεωμετρίας- αφού μπορείς και ξέρεις - να κάνεις σχήμα.

Ορέστης Λιγνός · #4

Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 10:50 pm
Ορέστης Λιγνός έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm
Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png

Στο $\vartriangle ABC$ , η είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$
Καλησπέρα!

Φέρνω, $CQ \perp AM$ , οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$ .

Επίσης η συνθήκη δίνει ότι η εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle MAB$ , οπότε $CA^2=CM \cdot CB$ , άρα $CA=CM \sqrt{2}=2CQ$ .

Συνεπώς , άρα $\angle CAQ=30^\circ$ , δηλαδή $\angle B=30^\circ$ , και εύκολα έπεται ότι $\angle C=15^\circ$ και $\angle A=135^\circ$ .
Ορέστη καλησπέρα . Ευχαριστώ για τη λύση . Αναμένω πάντως και λύση εντός φακέλου ( Έτσι μου το έδωσαν και μου απαίτησαν να το λύσω )

Κάτι ακόμα. Είσαι γνωστός τοις πάσι και σημείο αναφοράς της συντριπτικής πλειοψηφίας των δυνατών μαθητών στα μαθηματικά.

Θα σε παρακαλούσα στα θέματα Γεωμετρίας- αφού μπορείς και ξέρεις - να κάνεις σχήμα.

κ. Νίκο καλησπέρα.

Φαινομενικά έχετε δίκιο. Μην ξεχνάτε όμως, ότι εμείς οι μαθητές έχουμε αρκετό φόρτο εργασίας (παρόλο που δεν πηγαίνουμε σχολείο), και πολλές φορές δεν προλαβαίνουμε να ''τελειοποιήσουμε μία άσκηση'', άλλα μας τρώει η περιέργεια και τη δημοσιεύουμε, λόγω Μαθηματικής τρέλας!

Στο

βέβαια γίνονται πολλές παρατυπίες, από Μαθηματικούς (άλλοι δεν βάζουν σχήματα, άλλοι δίνουν τηλεγραφικές απαντήσεις, άλλοι παραβιάζουν τα διάφορα χρονικά όρια [να πω εδώ ότι σε διάφορες ασκήσεις που υπόκεινται σε χρονικούς περιορισμούς απαντήσεις από Μαθηματικούς σε μορφή απόκρυψης και παράθεσης της απάντησης ή της λύσης απλά καταστρέφουν την άσκηση - ποιος δεν θα δει την απόκρυψη;] κτλ) και δεν έχω δει να τους γίνονται οι ανάλογες συστάσεις. Φαίνεται οι συστάσεις προορίζονται μόνο για τους μικρούς

...

Επισημαίνω ότι σύμφωνα με τον κανονισμό του

, δεν είμαι παράτυπος, γιατί κάποτε που ρώτησα κάποιον Διαχειριστή του

, προτείνοντάς του κάτι, μου απάντησε ότι ο καθένας ''λύνει ό,τι μπορεί στο

, και δεν μπορεί κάποιος να αναγκάσει κάποιον να κάνει κάτι επειδή το θέλει αυτός'' !!

Τέλος, μιας και η επισήμανσή σας αφορά μόνο εμένα, θα μπορούσε να γίνει με Π.Μ. και να μην μιλάμε για πράγματα που δεν ενδιαφέρουν άλλους.

Ορέστης.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Αποσύρω την λύση μου γιατί έχει λάθος. Όταν βρώ χρόνο θα ερευνήσω για το εαν σώζεται.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο $\vartriangle ABC$ , η είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$

Αφού μπήκε εντός φακέλου βάζω μία (απαίσια βέβαια

) τριγωνομετρική.
Από ν.ημιτόνων στα $\rm ABM,AMC$ έχω
$\left\{\begin{matrix} & \rm \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{\sin \angle B}{\sin (135-\angle B)} & \\ &\rm \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{\sin \left ( 45-\angle B \right )}{\sin\angle B} & \end{matrix}\right.$ οπότε έχω να λύσω την $\rm \dfrac{\sin x}{\sin \left ( 135-x \right )}=\dfrac{\sin\left ( 45-x \right )}{sin x}\Leftrightarrow \sin^2x=sin(45-x)\sin(90+45-x)=sinx cos\left ( x-45 \right )=$
$\rm =\dfrac{\sin \left ( 90-2x \right )}{2}\Leftrightarrow 2\sin^2x=cos(2x)=1-2\sin^2x\Leftrightarrow 4\sin^2x=1\Leftrightarrow \sin x=\pm \dfrac{1}{2}$ .
Από εδώ $\rm \angle B=30^{\circ}$ και αβίαστα έχουμε τις άλλες γωνιές.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο $\vartriangle ABC$ , η είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$

Με

συμμετρικό του

ως προς

θα είναι $\triangle AEC$ ισοσκελές-ορθογώνιο

$\Rightarrow AECM$ εγγράψιμο ,άρα $EM \bot BC$ $\Rightarrow EB=EC$

Είναι, $DM=AD= \dfrac{EC}{2}= \dfrac{BC}{2} \Rightarrow \triangle EBC$ ισόπλευρο $\Rightarrow\theta =30^0$

: Γωνίες τριγώνου.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 1842 φορές

STOPJOHN · #8

Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο $\vartriangle ABC$ , η είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$

Καλημέρα

Εστω $AM=KM,AL\perp BC$

Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο AML

$\upsilon _{a}=\dfrac{\mu _{a}\sqrt{2}}{2},(1),$

Τα τρίγωνα MKC,AKC

είναι όμοια γιατί $\hat{MCK}=\hat{KAC}=\theta ,\hat{K}$ κοινή γωνία Αρα $\hat{ACK}=45^{0}\Rightarrow \hat{BAC}=135^{0},\dfrac{\mu _{a}}{c}=\dfrac{c}{2\mu _{a}}=\dfrac{a}{2b}\Rightarrow \dfrac{c}{2}=\upsilon _{_{a}}, \hat{B}=30^{0},\hat{C}=15^{0}$

#9

Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 9:39 pm βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png

Στο $\vartriangle ABC$ , η είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$ .

Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$

Τα τρίγωνα ABC, AMC

έχουν $M\widehat AC=\widehat B=\theta$ και την $\widehat C$ κοινή, άρα είναι ισογώνια και $\boxed{\widehat A=A\widehat MC=135^\circ}$

: Γωνίες τριγώνου.Φ.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 1732 φορές

Θεωρώ σημείο

του επιπέδου ώστε, $N\widehat BA=\theta$ και $N\widehat CA=\widehat C.$ Άρα το

είναι έγκεντρο του τριγώνου NBC

κι

επειδή $B\widehat AC=135^\circ,$ θα είναι $B\widehat NC=90^\circ$ και

διχοτόμος της ορθής γωνίας. Εύκολα τώρα το NAMC

είναι

εγγράψιμο, AM=AN

και

οπότε το

είναι ισόπλευρο. Άρα $\boxed{\widehat B=30^\circ}$ και $\boxed{\widehat C=15^\circ}$

Γωνίες τριγώνου

Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση