Γωνιακό θέμα

#1

: Γωνιακό θέμα.png (10.58 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Έστω

σημείο στο εσωτερικό τριγώνου ABC,

ώστε $M\widehat AB=10^0, M\widehat BA=20^0, M\widehat AC=40^0, M\widehat CA=30^0.$

Να υπολογίσετε τη γωνία $M\widehat BC=x.$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

george visvikis έγραψε: Έστω σημείο στο εσωτερικό τριγώνου ώστε $M\widehat AB=10^0, M\widehat BA=20^0, M\widehat AC=40^0, M\widehat CA=30^0.$

Να υπολογίσετε τη γωνία $M\widehat BC=x.$

: Γωνιακό θέμα.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

Φέρνω την

. Στο

έχω:

$B\widehat{M}C+x+M\widehat{C}B=180^{0} \Rightarrow x+M\widehat{C}B=80^{0}(1)$

Στο ABD

έχω:

$A\widehat{B}D+A\widehat{D}B+B\widehat{A}D=180^{0}\Rightarrow x+A\widehat{D}B=150^{0}(2)$

Άρα, έχω:

$150^{\circ}-A\widehat{D}B+M\widehat{C}B=150^{\circ} \Rightarrow A\widehat{D}B=M\widehat{C}D+70^{\circ}(3)$

Ως εξωτερική, $D\widehat{M}C=70^{\circ}(4)$

Σημείωση: Ευχαριστώ τον κύριο Γιώργο Βισβίκη και τον Ορέστη για τη διόρθωση!

Ορέστης Λιγνός · #3

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
george visvikis έγραψε: Έστω σημείο στο εσωτερικό τριγώνου ώστε $M\widehat AB=10^0, M\widehat BA=20^0, M\widehat AC=40^0, M\widehat CA=30^0.$

Να υπολογίσετε τη γωνία $M\widehat BC=x.$

Γωνιακό θέμα.png
Φέρνω την . Στο έχω:

$B\widehat{M}C+x+M\widehat{C}B=180^{0} \Rightarrow x+M\widehat{C}B=80^{0}(1)$

Στο έχω:

$A\widehat{B}D+A\widehat{D}B+B\widehat{A}D=180^{0}\Rightarrow x+A\widehat{D}B=150^{0}(2)$

Άρα, έχω:

$150^{0}-A\widehat{D}C+M\widehat{C}B=80^{0} \Rightarrow A\widehat{D}C=70^{0}+M\widehat{C}D(3)$

Επομένως, στο έχω:

$\color{red} A\widehat{D}C+A\widehat{C}D+D\widehat{A}C=180^{0} \Rightarrow \boxed{M\widehat{C}D=20^{0}}$

Συνεπώς ισοσκελές και:

$A\widehat{B}C=180^{0}-2\cdot 50^{0} \Rightarrow A\widehat{B}C=80^{0}$ , οπότε $\boxed{x=60^{0}}$

Νικόλα, η λύση σου είναι λάθος. (γιατί ισχύει το κοκκινισμένο;)

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

Ορέστη, μού το είπε και ο κύριος Γιώργος. Περίμενε λίγο να γράψω τη σωστή λύση! Λάθη γίνονται!

#5

Θα προσπαθήσω να είμαι αρκούντως αναλυτικός και χωρίς μαθηματικά σύμβολα ,

για εύκολη κατανόηση από τους νέους μαθητές του δημοτικού που τους δίνω τα

εύσημα για την αγάπη τους στα μαθηματικά και τις αξιέπαινες προσπάθειες στη

λύση προβλημάτων πέραν των γνώσεων του δημοτικού . Η προσπάθεια μετράει .

Γράφω τον κύκλο (A,M,C)

κι έστω

το κέντρο του . Επειδή η γωνία

$\widehat {AMC} = 180^\circ - 40^\circ - 30^\circ = 110^\circ$ , η όποια εγγεγραμμένη στη χορδή

θα είναι

παραπληρωματική των $110^\circ$ δηλαδή $70^\circ$ οπότε η αντίστοιχη επίκεντρη

$\widehat {AKC} = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$ . Επίσης $\widehat {AKM} = 2 \cdot \widehat {ACM} = 60^\circ$ και άρα το τρίγωνο

AMK

είναι ισόπλευρο . Αφού όμως η γωνία $\widehat \omega$ είναι εξωτερική στο $\vartriangle MAB$ θα είναι

$\widehat \omega = 30^\circ$ . Δηλαδή η ευθεία

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat {AMK}$ και αν κόψει την

στο

η ευθεία $\overline {BMK}$ είναι μεσοκάθετος στο ευθύγραμμο τμήμα

οπότε:

$\left\{ \begin{gathered} BA = BK \hfill \\ \hfill \\ \widehat \phi = \widehat {MBK} = 20^\circ \hfill \\ \hfill \\ \widehat \theta = \widehat {BAM} = 10^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Τώρα όμως $\widehat {AKB} = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ = \widehat {BKC}$ .

: Γωνιακό θέμα_a.png (58.19 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Τα τρίγωνα $KAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KCB$ έχουν : τη

κοινή ,

ως ακτίνες του κύκλου

και $\widehat {AKB} = \widehat {BKC} = 70^\circ$ , συνεπώς από το κριτήριο $(\Pi - \Gamma - \Pi )$ είναι ίσα και θα

έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα . άρα $\widehat {CBK} = \widehat {KBA}$ , δηλαδή $40^\circ = \widehat y$ και

έτσι , $\widehat {CBM} = \widehat y + \widehat \phi = 40^\circ + 20^\circ$ ή $\boxed{\widehat {CBM} = 60^\circ }$ .

Γωνιακό θέμα

Γωνιακό θέμα

Re: Γωνιακό θέμα

Re: Γωνιακό θέμα

Re: Γωνιακό θέμα

Re: Γωνιακό θέμα

Μέλη σε σύνδεση