Επαφή κύκλων

#1

: Επαφή δύο κύκλων.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 1544 φορές

Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\,(AB = AC)$ με AB > BC

. Έστω

η προβολή του

στη

και

η προβολή του

στην

.

ΟΙ ευθείες $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$ τέμνονται στο

.

Δείξετε ότι οι κύκλοι : (C,BC)

και ο περιγεγραμμένος στο $\vartriangle DCZ$ εφάπτονται .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

Έστω

η ακτίνα του μικρού κύκλου και

του μεγάλου.
Αρκεί R=2r

Είναι $\widehat{CBD}=90-\widehat{BCD}=90-\widehat{CBE}=\widehat{CZD}$
Είναι $\dfrac{DC}{\sin\widehat{CZD}}=2r$
Όμως $BC=R=\dfrac{CD}{\sin\widehat{CBD}}=\dfrac{CD}{\sin\widehat{CZD}}=2r\Leftrightarrow R=2r$

#3

Doloros έγραψε: Δευ Μαρ 11, 2019 6:20 pm Επαφή δύο κύκλων.png

Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\,(AB = AC)$ με . Έστω η προβολή του στη και η προβολή του στην .

ΟΙ ευθείες $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$ τέμνονται στο .

Δείξετε ότι οι κύκλοι : και ο περιγεγραμμένος στο $\vartriangle DCZ$ εφάπτονται .

Έστω ότι η

τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο

: Επαφή κύκλων.png (17.93 KiB) Προβλήθηκε 1525 φορές

$\displaystyle A\widehat CB = A\widehat BC = A\widehat BD + \varphi = A\widehat DE + \varphi = C\widehat DZ + \varphi \Leftrightarrow D\widehat ZC = \varphi = D\widehat KC$

Άρα το DKZC

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

και το ζητούμενο έπεται.

thanasis.a · #4

καλησπέρα (μετά από πολύ καιρό),

με την βοήθεια του σχήματος του Γιώργου. Αν

το σημείο τομης της

με τον περίκυκλο του $\triangle$ DCZ

.Έχουμε λοιπόν: $\angle DKC=\angle DZC$ (1) (ως εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο). Επίσης $\angle DKC+\angle KCD=90^{o}$ (2). Τώρα στο $\triangle EBZ$ έχουμε: $\angle EZB+\angle ZBE=90^{o}$ (3) και επειδή $AB=AC\Rightarrow \angle ABC=ACB$ (4). Από τις σχέσεις (1),(2),(3),(4) συμπεραίνουμε ότι: $\angle KCD=\angle DCB$ και αφού $CD\perp BK$ συμπεραίνουμε 'οτι : $\triangle BCK$ ισοσκελές και άρα DB=DK

με $B\epsilon (C,CB)$ πρέπει και $K\epsilon (C,CB)$ και
έτσι οι δυο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά._

Επαφή κύκλων

Επαφή κύκλων

Re: Επαφή κύκλων

Re: Επαφή κύκλων

Re: Επαφή κύκλων

Μέλη σε σύνδεση