Γνωστή απάντηση

#1

: Γνωστή απάντηση.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 1700 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο και SB = ST

. Να υπολογιστεί το τμήμα , AT = x

Αποκλειστικά μόνο για μαθητές ,για 24 ώρες. Όλες οι λύσεις δεκτές.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Doloros έγραψε: Σάβ Μάιος 04, 2019 9:49 pm Γνωστή απάντηση.png

Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και . Να υπολογιστεί το τμήμα ,

Αποκλειστικά μόνο για μαθητές ,για 24 ώρες. Όλες οι λύσεις δεκτές.

Έστω $\widehat{SBA}=\theta$

Με νόμο ημιτόνων στο SAB

$\dfrac{7}{\sin\theta }=\dfrac{12}{\sin(120-\theta )}\Rightarrow 12\sin\theta =7\left ( \dfrac{\sqrt{3}\cos\theta +\sin\theta }{2} \right )\Leftrightarrow 7\sqrt{3}\cos\theta =17\sin\theta \Leftrightarrow 49\cdot ...3\left ( 1-\sin^2\theta \right )=289\sin^2\theta \Leftrightarrow \sin\theta =\dfrac{7\sqrt{3}}{\sqrt{436}},\cos\theta =\dfrac{17}{\sqrt{436}}$ .

Πάλι με νόμο ημιτόνων στο ίδιο τρίγωνο είναι $\dfrac{BS}{\sin60}=\dfrac{7}{\sin\theta }\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow BS=\dfrac{\sqrt{436}}{2}$

Με νόμο συνημιτόνων στο ATS

$49=x^2+\dfrac{436}{4}-2\cdot \dfrac{17}{\sqrt{436}}\cdot x\cdot \dfrac{\sqrt{436}}{2}\Leftrightarrow x^2-17x+60=0\Leftrightarrow x=5,x=12$

Κρατάμε μόνο την $\boxed{x=5}$ αφού $24> \sqrt{436}$

Ιστοσελίδα · #3

Doloros έγραψε: Σάβ Μάιος 04, 2019 9:49 pm
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και . Να υπολογιστεί το τμήμα ,

Αποκλειστικά μόνο για μαθητές ,για 24 ώρες. Όλες οι λύσεις δεκτές.

Μια που απαντήθηκε...

: shape.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 1676 φορές

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #4

Απο το

φέρω $SK\parallel AB$ .
Το τρίγωνο SKC

είναι ισόπλευρο, άρα SK=SC=5

. Τα τρίγωνα AKC

και

έχουν

,

και $\widehat{C}$ κοινή, άρα ίσα, οπότε
BS=AK=KS

και $\widehat{CBS}=\widehat{KAC}=60-\vartheta$ δηλαδή $\widehat{BAK}= \vartheta$ , άρα έχουμε $AK\parallel = TS\Rightarrow ATSK$ παραλληλόγραμμο, άρα x=5

.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Άν μου επιτρέπει και ο κύριος Μιχάλης, θα δείξω χρησιμοποιώντας την σκέψη του στο #3 ότι το δεδομένο AS=7

θα μπορούσε να παραληφθεί.
Είναι: x=MT-AM

$MT=a-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{2a-a+5}{2}=\dfrac{a+5}{2}$

Άρα τώρα είναι $x=\dfrac{a+5}{2}-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{a+5-a+5}{2}=5$

#6

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 05, 2019 11:27 am Άν μου επιτρέπει και ο κύριος Μιχάλης, θα δείξω χρησιμοποιώντας την σκέψη του στο #3 ότι το δεδομένο θα μπορούσε να παραληφθεί.
Είναι:

$MT=a-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{2a-a+5}{2}=\dfrac{a+5}{2}$

Άρα τώρα είναι $x=\dfrac{a+5}{2}-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{a+5-a+5}{2}=5$

Μετά την εύστοχη παρατήρηση του Θεοδόση

δίνω, αν μου επιτρέπει ο Νίκος, την παρακάτω γενίκευση:

: Γνωστή απάντηση.α.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 1622 φορές

Αν

είναι τυχαίο σημείο της πλευράς

ισοπλεύρου τριγώνου ABC

και

(

σημείο στην προέκταση του

), να δείξετε ότι AT=SC.

Ιστοσελίδα · #7

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 05, 2019 12:41 pm
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 05, 2019 11:27 am Άν μου επιτρέπει και ο κύριος Μιχάλης, θα δείξω χρησιμοποιώντας την σκέψη του στο #3 ότι το δεδομένο θα μπορούσε να παραληφθεί.
Είναι:

$MT=a-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{2a-a+5}{2}=\dfrac{a+5}{2}$

Άρα τώρα είναι $x=\dfrac{a+5}{2}-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{a+5-a+5}{2}=5$
Μετά την εύστοχη παρατήρηση του Θεοδόση δίνω, αν μου επιτρέπει ο Νίκος, την παρακάτω γενίκευση:
Αν είναι τυχαίο σημείο της πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου και

( σημείο στην προέκταση του ), να δείξετε ότι

: shape2.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 1580 φορές

Φέρω $SM \bot BT$ και θέτω $AT = x,\,AS = 2a$ . Τα υπόλοιπα στο σχήμα…

#8

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 05, 2019 12:41 pm
Αν είναι τυχαίο σημείο της πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου και

( σημείο στην προέκταση του ), να δείξετε ότι

: Γνωστή απάντηση.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 1547 φορές

Αν

από την προφανή ισότητα των αμβλυγώνιων τριγώνων ATS, PBS

είναι $\boxed{AT=PB=SC}$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #9

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 05, 2019 12:41 pm
... Αν είναι τυχαίο σημείο της πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου και

( σημείο στην προέκταση του ), να δείξετε ότι

Φέρω την $SK\parallel AB$ . Όπως και πριν λοιπόν, σχηματίζεται το ισόπλευρο τρίγωνο SKC

και το παραλληλόγραμμο ATSK

οπότε

.

Γνωστή απάντηση

Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Re: Γνωστή απάντηση

Μέλη σε σύνδεση