Είναι τετράγωνο

#1

: Είναι τετράγωνο.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $OAB\,\,\left( {OA = OB} \right)$ .

Στην πλευρά

θεωρώ τυχαίο σημείο

και στην προς το

προέκταση της

σημείο

, έτσι ώστε : OD = OA

.

Αν

είναι τα μέσα των AB,BC,CD,DA

να δείξετε ότι το τετράπλευρο KLMN

είναι τετράγωνο.

Φανης Θεοφανιδης · #2

: 115.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

Είναι $LK=\parallel MN=\parallel \dfrac{CA}{2}$ και $ML=\parallel NK=\parallel \dfrac{BD}{2}$ .
Από την ισότητα των τριγώνων ODB, OAC

έπεται ότι CA=BD

.
Οπότε $LK=MN=ML=NK\Rightarrow LKNM$ ρόμβος.
Το σημείο

όμως είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ACB

.
Άρα $BD\perp CA\Rightarrow BD\perp MN\Rightarrow ML\perp MN$ .
Συνεπώς το LKNM

είναι τετράγωνο.

#3

Doloros έγραψε: Δευ Μάιος 03, 2021 7:31 pm Είναι τετράγωνο.png

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $OAB\,\,\left( {OA = OB} \right)$ .

Στην πλευρά θεωρώ τυχαίο σημείο και στην προς το προέκταση της σημείο , έτσι ώστε : .

Αν είναι τα μέσα των να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία (δεν είμαι βέβαιος αν είναι γι' αυτή την τάξη, αλλά αφού η λύση είναι απλή, δεν χάνουμε να την δούμε).

Με αρχή των ακόνων το

έχουμε $B(b,0), \, C(0,b),\, A(-a,0),\, D(0,a)$ . Έπεται $\displaystyle{L\left ( \dfrac {b}{2} , \dfrac {b}{2} \right ),\, K\left ( \dfrac {b-a}{2} , 0 \right ) ,\, M \left (0 , \dfrac {a+b}{2} \right ),\, N\left ( \dfrac {-a}{2} , \dfrac {a}{2} \right )}$ .

Bλέπουμε τώρα ότι οι κλίσεις των NM, KL

είναι $\displaystyle{\left \dfrac {b}{a} }$ , άρα παράλληλες, και των $NK,\, ML$ είναι $\displaystyle{- \dfrac {a}{b} \right )}$ , άρα παράλληλες και μάλιστα κάθετες στις δύο προηγούμενες. Τέλος βρίσκουμε $KL=LM=MN=NK= \dfrac {1}{2} \sqrt {a^2+b^2}$ . Και λοιπά.

#4

Doloros έγραψε: Δευ Μάιος 03, 2021 7:31 pm Είναι τετράγωνο.png

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $OAB\,\,\left( {OA = OB} \right)$ .

Στην πλευρά θεωρώ τυχαίο σημείο και στην προς το προέκταση της σημείο , έτσι ώστε : .

Αν είναι τα μέσα των να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

: Είναι τετράγωνο.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

$\displaystyle AD||OL,OL \bot BC \Rightarrow BD \bot AC,$ άρα το

είναι ορθόκεντρο του ABC

οπότε τα

είναι σημεία

του κύκλου του ${\rm{Euler}}.$ Επομένως το KLMN

είναι ορθογώνιο και επειδή ML=LK,

θα είναι τετράγωνο.

Είναι τετράγωνο

Είναι τετράγωνο

Re: Είναι τετράγωνο

Re: Είναι τετράγωνο

Re: Είναι τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση