Είναι ολοκληρώσιμη

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω
$f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$

μετρίσημη συνάρτηση ώστε η

$f\log ^{+}|f|$

να είναι ολοκληρώσιμη.

Να δειχθεί ότι και η

$f\log \frac{1}{|x|}$

είναι ολοκληρώσιμη στο [-1,1]

Σημειώσεις
1) $u^{+}=max(0,u)$
2)Αν κάποιος δεν γνωρίζει το ολοκλήρωμα Lebesgue ας την λύσει με τις πρόσθετες
προυποθέσεις
f> 0

τα ολοκληρώματα είναι γενικευμένα Riemann

Μέχρι 27-9-2019

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Σεπ 23, 2019 11:23 pm Εστω
$f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$

μετρίσημη συνάρτηση ώστε η

$f\log ^{+}|f|$

να είναι ολοκληρώσιμη.

Να δειχθεί ότι και η

$f\log \frac{1}{|x|}$

είναι ολοκληρώσιμη στο

Σημειώσεις
1) $u^{+}=max(0,u)$
2)Αν κάποιος δεν γνωρίζει το ολοκλήρωμα Lebesgue ας την λύσει με τις πρόσθετες
προυποθέσεις

τα ολοκληρώματα είναι γενικευμένα Riemann

Ανοικτή για όλους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Υπόδειξη.
1)Χωρίστε το σύνολο τιμών της

σε δύο κατάλληλα υποσύνολα.
(χρειάζεται ολοκλήρωμα Lebesgue)
2) Δείξτε ότι $xy\leq x\ln ^{+}x+e^{y}-1$
(δεν χρειάζεται ολοκλήρωμα Lebesgue)
προφανώς οι δύο υποδείξεις είναι για δύο διαφορετικές λύσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γράφω λύση με βάση την πρώτη υπόδειξη.
Θεωρούμε τα σύνολα
$A=\left \{ x:|f(x)|> \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}} \right \},B=\left \{ x:|f(x)|\leq \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}} \right \}$
Είναι

$\int |f|\log \frac{1}{|x|}=2\int |f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}=2\int _{A}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}+2\int _{B}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}$

Αλλά
$\int _{B}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}\leq \int_{-1}^{1} |x|^{-\frac{1}{2}}\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}< +\infty$
και
$\int _{A}|f|\log \frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}}\leq \int _{A}|f|\log^{+}|f|\leq \int_{-1}^{1}|f|\log^{+}|f|$

που δίνουν το ζητούμενο.

Είναι ολοκληρώσιμη

Είναι ολοκληρώσιμη

Re: Είναι ολοκληρώσιμη

Re: Είναι ολοκληρώσιμη

Re: Είναι ολοκληρώσιμη

Μέλη σε σύνδεση