Αύξουσα από παράγωγο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής .
Θέτουμε
$D_{-}f(x)=lim inf_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Αν
$x\in [a,b]-A\Rightarrow D_{-}f(x)\geq 0$

όπου

αριθμήσιμο σύνολο

να δειχθεί ότι η

είναι αύξουσα.

Μέχρι 15-12-2019

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά για όλους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Αν δείξουμε ότι $f(b)\geq f(a)$
θα έχουμε τελειώσει γιατί αν
$\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b],x_{1}<x_{2}$
κάνουμε τα ίδια στο διάστημα
$[x_{1},x_{2}]$

Εστω $\displaystyle A=\left \{q_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}$

Εστω $\epsilon >0$
Θεωρούμε την
$\displaystyle q(x)=f(x)+\epsilon (x-a)+\epsilon \sum _{q_{n}<x}2^{-n}$

και το σύνολο
$\displaystyle B=\left \{ x\in [a,b]:q(x)\geq q(a) \right \}$
είναι $B\neq \varnothing$
γιατί $a\in B$

Εστω s=supB

Είναι εύκολο λόγω συνέχειας να δείξουμε ότι
$\displaystyle q(s)\geq q(a)$
Αρκεί να δείξουμε ότι s=b

Αν

διακρίνοντας τις περιπτώσεις

1) $s\notin A$
2) $s\in A$
θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Εστω ότι ισχύει το 1)
Είναι
$\displaystyle D_{-}(f(s)+\epsilon (s-a))\geq \epsilon$

Λόγω αυτού υπάρχει $\delta > 0$
ώστε για $s<x<s+\delta$
ισχύει
$\displaystyle \dfrac{f(x)-\epsilon (x-a)-(f(s)-\epsilon (s-a))}{x-s}\geq \epsilon$

η τελευταία δίνει ότι για $s<x<s+\delta$
$f(x)\geq f(s)$
Τότε όμως
$\displaystyle q(x)\geq q(s)\geq q(a)$
πού δείχνει ότι $x \in B$
ΑΤΟΠΟ από τον ορισμό του sup

Εστω ότι ισχύει το 2)
Αρα s=q_n

για κάποιο

Από συνέχεια υπάρχει $\delta > 0$
ώστε για $s<x<s+\delta$
να είναι
$f(x)-f(s)\geq -\epsilon \frac{1}{2^{n}}$

Συμπεραίνουμε ότι
$\displaystyle q(x)\geq q(s)\geq q(a)$
πού δείχνει ότι $x \in B$
ΑΤΟΠΟ από τον ορισμό του sup

Αρα s=b

οπότε $q(b)\geq q(a)$
Αυτό σημαίνει ότι
$\displaystyle f(b)+\epsilon (b-a)+\epsilon \sum 2^{-n}\geq f(a)$
και επειδή το $\epsilon$ είναι οποιοσδήποτε θετικός
έχουμε
$\displaystyle f(b)\geq f(a)$

Αύξουσα από παράγωγο

Αύξουσα από παράγωγο

Re: Αύξουσα από παράγωγο

Re: Αύξουσα από παράγωγο

Re: Αύξουσα από παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση