Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 27, 2020 8:58 pm

Εστω πολυώνυμα P(x),K(x)\in Q[x]
με το
P(x) ανάγωγο.

Αν τα P(x),K(x) εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο

R(x)\in Q[x] ώστε

K(x)=P(x)R(x)


Μέχρι 29-2-2020



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Φεβ 29, 2020 5:17 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 27, 2020 8:58 pm
Εστω πολυώνυμα P(x),K(x)\in Q[x]
με το
P(x) ανάγωγο.

Αν τα P(x),K(x) εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο

R(x)\in Q[x] ώστε

K(x)=P(x)R(x)


Μέχρι 29-2-2020
Γράφω λίγο περιληπτικά γιατί είμαι από κινητό. Έστω a η κοινή ρίζα και m_{a} (x) το ελάχιστο πολυώνυμο του a υπεράνω του \mathhbb{Q} .

Επειδή το P(x) είναι ανάγωγο, έπεται πως: P(x) =c m_{a} (x) .

Τέλος, αφού το K(x) έχει ρίζα το a το m_{a} (x) διαιρεί το K(x) και άρα το P(x) διαιρεί το K(x)
Που είναι το ζητούμενο.

Υποσημείωση : έχω την εντύπωση πως το παραπάνω είναι ελλιπές, από θέμα αιτιολόγησης, αλλά είναι όλα γνωστά από Galois.


Αρμενιάκος Σωτήρης
stranger
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Μαρ 01, 2020 2:03 am

Επειδή το \mathbb{Q}[x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών έχουμε ότι το ιδεώδες (P(x),K(x)) είναι κύριο, οπότε
(P(x),K(x)) = (f(x)). Το πολώνυμο f(x) είναι ένας από τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες των P(x),K(x).
Άρα επειδή τα P(x),K(x) έχουν κοινή ρίζα έπεται ότι το f(x) είναι μη σταθερό πολυώνυμο.
Άρα αφού το f(x) διαιρεί το P(x) και επειδή το P(x) είναι ανάγωγο έπεται ότι P(x) = c f(x), c \neq 0.
Άρα το P(x) διαιρεί το K(x) στο \mathbb{Q}[x].
Τελειώσαμε.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 01, 2020 6:48 pm

Για να δούμε μια πιο στοιχειώδη απόδειξη.
Δουλεύουμε στο Q[x] .

Το βασικό είναι ότι αν

d(x)=(f(x),g(x))τότε υπάρχουν πολυώνυμα h(x),q(x))

ώστε d(x)=f(x)h(x)+g(x)q(x)

Κάνουμε την διαίρεση του K(x)με το P(x).

K(x)=P(x)L(x)+r(x)(1)

Αν r(x)\equiv 0
τελειώσαμε.

Διαφορετικά θα είναι deg r(x)<deg P(x).

Αλλά επειδή το P(x) ανάγωγο θα είναι
1=(P(x),r(x))

Αρα θα υπάρχουν πολυώνυμα ώστε 1=P(x)h(x)+r(x)q(x)(2)

Αν a η κοινή ρίζα των P(x),K(x) τότε η (1) δίνει r(a)=0

οπότε από την (2) παίρνουμε 1=0ΑΤΟΠΟ.

σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το \mathbb{Q} με οποιoδήποτε σώμα F


stranger
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Μαρ 01, 2020 11:57 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 01, 2020 6:48 pm
σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το \mathbb{Q} με οποιoδήποτε σώμα F
Ναι βέβαια αφού το F είναι σώμα έχουμε ότι το F[x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, οπότε έχουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 02, 2020 11:59 am

stranger έγραψε:
Κυρ Μαρ 01, 2020 11:57 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 01, 2020 6:48 pm
σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το \mathbb{Q} με οποιoδήποτε σώμα F
Ναι βέβαια αφού το F είναι σώμα έχουμε ότι το F[x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, οπότε έχουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη.
Για να ορίσουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη στο F[x] δεν χρειάζεται να μπλέξουμε ιδεώδη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης