Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

dimplak · #101

60.

$\begin{cases} y^2 - \sqrt[3]{3x} + 2 = 0 \\ x + 2 \sqrt[3]{x-1} = y^6 + 3y^4 + 5y^2 + 4 \end{cases}$

Απάντηση: (9,1)

ή

#102

dimplak έγραψε: 59.

$\begin{cases} x^3 (3y + 1) = 8 \\ xy ( y^2 + 3y + 3) = 6 - 3x \end{cases}$

Είναι $x\neq 0$
Η δεύτερη εξίσωση γράφεται $y^3+3y^2+3y=\dfrac{6}{x}-3$ ή $\boxed{(y+1)^3=\dfrac{6}{x}-2}$
Η πρώτη εξίσωση γράφεται $\boxed{3(y+1)=\dfrac{8}{x^3}+2}$

Θέτουμε $a=\dfrac{2}{x}$ και b=y+1

οπότε έχουμε να λύσουμε το σύστημα
$\begin{cases} b^3= 3a-2 \\ 3b=a^3+2 \end{cases}$

Προσθέτοντας b^3+3b=a^3+3a

οπότε

(η

είναι γνησίως αύξουσα)
Εύκολα τώρα $\dfrac{8}{x^3}=\dfrac{2}{x}-2$ ή x^3-3x^2+4=0

ή

οπότε

ή

#103

dimplak έγραψε: 60.

$\begin{cases} y^2 - \sqrt[3]{3x} + 2 = 0 \\ x + 2 \sqrt[3]{x-1} = y^6 + 3y^4 + 5y^2 + 4 \end{cases}$

Απάντηση: ή

Η δεύτερη εξίσωση γράφεται $(x-1)+2\sqrt[3]{x-1}=(y^2+1)^3+2(y^2+1)$ οπότε $\sqrt[3]{x-1}=y^2+1$ (η x^3+2x

γνησίως αύξουσα)
Η πρώτη εξίσωση γίνεται $\sqrt[3]{x-1}+1=\sqrt[3]{3x}$

Θέτοντας $a=\sqrt[3]{x-1}$ και $b=\sqrt[3]{3x}$ προκύπτει b=a+1

και

οπότε

ή

και τελικά $a=\dfrac{1}{2}$ ή a=2.

Αν $a=\dfrac{1}{2}$ τότε $x=\dfrac{9}{8}$ και $y^2=-\dfrac{1}{2}$ που είναι αδύνατη.

Αν a=2

τότε

και

που οδηγεί στις λύσεις (9,1),(9,-1).

dimplak · #104

61.

$\begin{cases} 2 \sqrt{x + 3y + 2} - 3 \sqrt{y} = \sqrt{x+2} \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

Απάντηση: (1,3)

#105

dimplak έγραψε: 61.

$\begin{cases} 2 \sqrt{x + 3y + 2} - 3 \sqrt{y} = \sqrt{x+2} \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

Απάντηση:

Θέτω $\displaystyle{x + 2 = a \ge 0}$ και η πρώτη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{2\sqrt {a + 3y} - 3\sqrt y = \sqrt a \Leftrightarrow 4(a + 3y) = 9y + a + 6\sqrt {ay} \Leftrightarrow 9{(y + a)^2} = 36ay \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{{(y - a)^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\boxed{y=a}$ και αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση: $\displaystyle{{(a - 2)^2} + {a^2} = 10\mathop \Leftrightarrow \limits^{a \ge 0} }$ a=3.

Άρα: $\boxed{x=1,y=3}$

Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση