Τριγωνομετρική εξίσωση

Tolaso J Kos · #1

Να λυθεί στο $[0, 2\pi)$ εξίσωση:

$\displaystyle{\cos x - \sin 3x = \cos 2x}$

mick7 · #2

Χρησιμοποιωντας τύπους πολλαπλών γωνιών έχουμε

$\cos (x)-\sin (3 x)-\cos (2 x)=\sin ^3(x)+\sin ^2(x)-\cos ^2(x)+\cos (x)-3 \sin (x) \cos ^2(x)$

Χρησιμοποιωντας τον μετασχηματισμο $t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$ καταλήγουμε στην

$\frac{ t \left(t^5+3 t^4-2 t^3-10 t^2-3 t+3\right)}{\left(1+t^2\right)^3}=0$

Το 5ης τάξης πολυώνυμο ειναι σχετικά εύκολο να παραγοντοποιηθει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

mick7 έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 10:05 pm Χρησιμοποιωντας τύπους πολλαπλών γωνιών έχουμε

$\cos (x)-\sin (3 x)-\cos (2 x)=\sin ^3(x)+\sin ^2(x)-\cos ^2(x)+\cos (x)-3 \sin (x) \cos ^2(x)$

Χρησιμοποιωντας τον μετασχηματισμο $t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$ καταλήγουμε στην

$\frac{ t \left(t^5+3 t^4-2 t^3-10 t^2-3 t+3\right)}{\left(1+t^2\right)^3}=0$

Το 5ης τάξης πολυώνυμο ειναι σχετικά εύκολο να παραγοντοποιηθει.

Δεν καταλαβαίνω πώς θα παραγοντοποιηθεί το 5ης τάξης πολυώνυμο.

mick7 · #4

Δεν σας πιστεύω...

Από την άλλη με την βοήθεια των "μηχανών"...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... 5E2-3t%2B3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 10:32 pm

Δεν καταλαβαίνω πώς θα παραγοντοποιηθεί το 5ης τάξης πολυώνυμο.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 11:49 am Να λυθεί στο $[0, 2\pi)$ εξίσωση:

$\displaystyle{\cos x - \sin 3x = \cos 2x}$

$\displaystyle \cos x - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos 2x - \cos \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)$

$\displaystyle \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right] = 0$

$\displaystyle \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \frac{{3x}}{2}\cos \left( {\dfrac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$

και για $\displaystyle x \in \left[ {0,2\pi } \right),$ παίρνουμε τις λύσεις: $\displaystyle \left\{ {0,\frac{\pi }{4},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{5\pi }}{4},\frac{{4\pi }}{3}, \dfrac{3\pi}{2}} \right\}$

Ελπίζω να μην ξέχασα καμία.

Σταμ. Γλάρος · #6

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 11:49 am Να λυθεί στο $[0, 2\pi)$ εξίσωση:

$\displaystyle{\cos x - \sin 3x = \cos 2x}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ... γεμάτη αναμνήσεις!
Φυσικά εκτός ύλης!
Είναι: $\cos x - \sin 3x = \cos 2x$ $\Leftrightarrow$ $\cos x-\cos 2x=\sin3x$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $-2sin\frac{x-2x}{2}\cdot sin\frac{x+2x}{2}= 2sin\frac{3x}{2}\cdot cos\frac{3x}{2}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $2sin\frac{3x}{2}\left ( sin\frac{x}{2} -cos\frac{3x}{2}\right ) =0$ .

Από την τελευταία προκύπτουν:

$sin\frac{3x}{2}=0$ με λύσεις λόγω του περιορισμού της γωνίας τις : $x=0, x=\frac{4\pi }{3} , x=\frac{2\pi }{3}$

και $sin\frac{x}{2}=cos\frac{3x}{2}$ $\Leftrightarrow$ $sin\frac{x}{2}=sin \left ( \frac{\pi }{2}-\frac{3x}{2} \right )$

από όπου προκύπτουν οι λύσεις $x= \frac{\pi}{4} , x=\frac{5\pi }{4}$ .

Ελπίζω να μην έχω κάνει κανένα λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

mick7 έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 10:38 pm Δεν σας πιστεύω...
Από την άλλη με την βοήθεια των "μηχανών"...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... 5E2-3t%2B3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 10:32 pm

Δεν καταλαβαίνω πώς θα παραγοντοποιηθεί το 5ης τάξης πολυώνυμο.

Ο φάκελος είναι Β Λυκείου.
Ένα πολυώνυμο 5ης τάξης δεν παραγοντοποιείται πάντα.
Σε κάθε περίπτωση η λύση της άσκησης είναι αυτή η παραγοντοποίηση .
Γράψατε ότι παραγοντοποιείται εύκολα.
Εγω δεν βλέπω εύκολη παραγοντοποίηση.
Δεν βλέπω με το μάτι καν την παραγοντοποίηση.
Οσο για τις μηχανές δεν νομίζω ότι είναι εύστοχο.
Γιατί τότε θα βάζαμε την εξίσωση να μας την λύσει η μηχανή.

kkala · #8

Το συγκεκριμένο πολυώνυμο 5ου βαθμού Φ(t) (δημοσίευση Νο 2, nick7) μπορεί να αναλυθεί σε : Φ(t) = $t^{5}+3t^{4}-2t^{3}-10t^{2}-3t+3$ = $(t+1)(t^{2}-3)(t^{2}+2t-1)$ με τον παρακάτω αλγεβρικό τρόπο.
Φ(-1)=0, άρα Φ(t) διαιρείται δια t+1 . Το πιλήκον (υπόλοιπον=0) είναι $t^{4}+2t^{3}-4t^{2}-6t+3$ , το οποίον γράφεται και σαν $t^{4}+2t^{3}-t^{2}-3t^2-6t+3$
= = .
H εξίσωση Φ(t)=0 επιλύεται πλέον και έχει ρίζες -1, $\pm \sqrt{3}$ , $-1\pm \sqrt{2}$ . Επειδή t = tan(x/2), προκύπτουν τιμές του χ σύμφωνα με προηγούμενες αναρτήσεις.
Σημ. Εκτος αυτών η αρχική εξίσωση έχει και την ρίζα t=0., δηλαδή χ=0 .

Τριγωνομετρική εξίσωση

Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση