Ο άγνωστος α

KARKAR · #1

Στο θέμα που ακολουθεί ο

είναι θετικός. Αν οι συναρτήσεις : f(x)=x^2-5x+a

και : $g(x)=\dfrac{x^2+5x+4}{x}$ , έχουν ίσες ελάχιστες τιμές , υπολογίστε τον αριθμό

.

Σημείωση : Το θέμα είναι κατάλληλο και για την Α' Λυκείου .

#2

Προφανώς η

παρουσιάζει ελάχιστο στο ${x_0} = \dfrac{5}{2}\,\,\,$ το $\boxed{f(5/2) = a - \frac{{25}}{4}}$ .

Αφού x > 0

, $g(x) = x + \dfrac{4}{x} + 5 \geqslant 9 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} \geqslant 0$ .

άρα $\boxed{a = 9 + \frac{{25}}{4}}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Ελαφριά παραλλαγή της απάντησης του Νίκου.

Είναι $\displaystyle g(x) = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{x} = x + \frac{4}{x} + 5,\;\;x > 0$

Οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle x,\;\frac{4}{x}$ έχουν σταθερό γινόμενο, οπότε το άθροισμά τους παρουσιάζει ελάχιστο όταν είναι ίσοι (αν μπορούν να γίνουν ίσοι).

Αυτό συμβαίνει, όταν $\displaystyle x = \frac{4}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2$ .

Τότε το ελάχιστο της g(x)

είναι $\displaystyle g\left( 2 \right) = 9$ .

Είναι $\displaystyle {x^2} - 5x + a = {x^2} - 5x + \frac{{25}}{4} + a - \frac{{25}}{4} = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + a - \frac{{25}}{4} \ge a - \frac{{25}}{4}$ με το ελάχιστο όταν $\displaystyle x = \frac{5}{2}$ .

Οπότε $\displaystyle a - \frac{{25}}{4} = 9 \Leftrightarrow a = \frac{{61}}{4}$ .

Ο άγνωστος α

Ο άγνωστος α

Re: Ο άγνωστος α

Re: Ο άγνωστος α

Μέλη σε σύνδεση