Συναρτήσεις όχι ακριβώς 1-1.

#1

Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ μία συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x,\, y$ με $|f(x)-f(y)| \ne 1$ .

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Νομίζω ότι είναι αρκετά διδακτική άσκηση για τους πρωτόπειρους.)

fogsteel · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 14, 2022 10:20 am Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ μία συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x,\, y$ με $|f(x)-f(y)| \ne 1$ .

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Νομίζω ότι είναι αρκετά διδακτική άσκηση για τους πρωτόπειρους.)

Καλησπέρα,

Υποθέτω πως η άσκηση αναφέρεται σε διαφορετικούς x, y

, γιατί αλλίως είναι προφανές.
Έστω προς άτοπο ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, δηλαδή |f(x) - f(y)| = 1

, για κάθε διακεκριμένους x,y

Για τους διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c

έχουμε :

Διακρίνουμε περιπτώσεις :

Αν $f(a) - f(b) = f(a) - f(c) = \pm 1 \Rightarrow f(b) = f(c)$ , άτοπο από την υπόθεσή μας
Αν χωρίς βλάβη της γενικότητας $f(a) = f(b) - 1 = f(c) + 1 \Rightarrow f(b) - f(c) = 2 \Rightarrow |f(b) - f(c)| = 2$ , προφανώς άτοπο.

Άρα υπάρχουν πραγματικοί x,y

ώστε $|f(x)-f(y)| \ne 1$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Έστω ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί. Θα έχουμε ότι |f(x) - f(y)| = 1

, για κάθε $x\neq y$

Αρα

|f(1)-f(0)|=1,|f(2)-f(0)|=1,|f(3)-f(0)|=1

Επειδή από τις πιο πάνω τα f(1),f(2),f(3)

θα είναι

η

δύο τουλάχιστον είναι ίσα ΑΤΟΠΟ.

#4

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52&t=19843

Συναρτήσεις όχι ακριβώς 1-1.

Συναρτήσεις όχι ακριβώς 1-1.

Re: Συναρτήσεις όχι ακριβώς 1-1.

Re: Συναρτήσεις όχι ακριβώς 1-1.

Re: Συναρτήσεις όχι ακριβώς 1-1.

Μέλη σε σύνδεση