Αναπάντεχη ισότητα

KARKAR · #1

Οι αριθμοί x , y

είναι θετικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους . Γνωρίζουμε ότι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}$ .

Υπάρχει , όμως , περίπτωση να είναι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ ; Αν απαντήσετε ναι , δώστε ένα παράδειγμα .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 04, 2023 6:35 am Οι αριθμοί είναι θετικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους . Γνωρίζουμε ότι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}$ .

Υπάρχει , όμως , περίπτωση να είναι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ ; Αν απαντήσετε ναι , δώστε ένα παράδειγμα .

$\displaystyle \sqrt {\frac{9}{4}} + \sqrt 9 = \sqrt {\frac{9}{4} \cdot 9}$

#3

Ας δούμε και τη γενικότερη λύση.

Προφανώς είναι $\displaystyle x,y \ne 1.$

$\displaystyle \sqrt x + \sqrt y = \sqrt x \cdot \sqrt y \Leftrightarrow \sqrt y \left( {\sqrt x - 1} \right) = \sqrt x > 0,$ απ' όπου x>1

και

$\displaystyle y = \frac{x}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}},$ με $x\ne y$ και x,y>1.

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 04, 2023 6:35 am Οι αριθμοί είναι θετικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους . Γνωρίζουμε ότι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}$ .

Υπάρχει , όμως , περίπτωση να είναι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ ; Αν απαντήσετε ναι , δώστε ένα παράδειγμα .

Η ζητούμενη ισότητα είναι πρωτοβάθμια ως προς $\sqrt x$ , δεδομένου του

. Συγκεκριμένα, $\sqrt x = \dfrac {\sqrt y}{\sqrt y -1}$ .

Στο παράδειγμα του Γιώργου, είναι βέβαια $\sqrt y = 3$ .

Άλλος ισοδύναμος τρόπος να σκεφτούμε είναι να πάρουμε οποιαδήποτε δύο θετικά $a, \, b$ με a+b=ab

. Τότε τα $x=a^2, \, y=b^2$ μας κάνουν.

(Edit. Με πρόλαβε το δεύτερο ποστ του Γιώργου. Τα μηνύματα διασταυρώθηκαν).

KARKAR · #5

$... \sqrt y = \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x -1}=\dfrac {\sqrt x\cdot(\sqrt x +1)}{ x -1}$ , άρα : $y=\dfrac{x^2+2x\sqrt x+x}{(x-1)^2}$

Γράφω τη λύση στη μορφή αυτή , διότι δεν μπόρεσα να καταλάβω

γιατί το Wolframalpha , δίνει και την : $y=\dfrac{x^2-2x\sqrt x+x}{(x-1)^2}$

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

KARKAR · #7

Η ισότητα : $\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ , ισχύει πράγματι .

Συμβαίνει το ίδιο για την : $\sqrt{2}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ ;

orestisgotsis · #8

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #9

ΠΕΡΙΤΤΑ

KARKAR · #10

Ορέστη , το πρώτο μέλος ισούται με

( ακριβώς ! ) , ενώ το δεύτερο με : $2(\sqrt{2}-1)=0.8284...$

#11

Για να δούμε πού βρίσκεται το λάθος.

Είναι $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow \sqrt{y}=\sqrt{x}\left( \sqrt{y}-1 \right)>0,$ απ' όπου προκύπτει $\boxed{y>1}$

Ας λύσουμε τώρα την εξίσωση $y=x\left( y-2\sqrt{y}+1 \right).$ Θέτω $\displaystyle \sqrt y = t > 1$ και καταλήγω στην

$\displaystyle (x - 1){t^2} - 2xt + x = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}$ ή $\displaystyle t = \frac{{x - \sqrt x }}{{x - 1}}$

Η δεύτερη όμως ρίζα απορρίπτεται γιατί είναι μικρότερη του

και δεν επαληθεύει την αρχική.

Αν έχει δοθεί στο λογισμικό η αρχική εξίσωση, τότε το WolframAlpha έχει κάνει λάθος.

Αν όμως έχει δοθεί η $y=x\left( y-2\sqrt{y}+1 \right),$ τότε το WolframAlpha έχει απαντήσει σωστά.

orestisgotsis · #12

ΠΕΡΙΤΤΑ

KARKAR · #13

Γιώργο , έδωσα ακριβώς την αρχική εξίσωση και βγάζει δύο λύσεις , κάτι το οποίο δεν αληθεύει ...

Ορέστη η λύση : (0 , 0)

δεν είναι έγκυρη αφού η εκφώνηση θέλει τους (x,y)

θετικούς και

μάλιστα διαφορετικούς ....

orestisgotsis · #14

ΠΕΡΙΤΤΑ

Αναπάντεχη ισότητα

Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση