Οι δύο εξαδέλφες

KARKAR · #1

$\bigstar$ Να επιλυθεί η εξίσωση : (x+7)(x+9)(x+11)(x+13)-9=0

.

Στην συνέχεια να λυθεί η : (x+7)(x+9)(x+11)(x+13)+16=0

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 08, 2025 12:41 pm $\bigstar$ Να επιλυθεί η εξίσωση : .

Στην συνέχεια να λυθεί η : .

$\displaystyle (x + 7)(x + 9)(x + 11)(x + 13) = ({x^2} + 20x + 91)({x^2} + 20x + 99).$ Θέτω $\boxed{x^2+20x=t}$ (1)

Από την πρώτη εξίσωση, $\displaystyle (t + 91)(t + 99) - 9 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 190t + 9000 = 0 \Leftrightarrow t = - 100$ ή t=-90.

Αντικαθιστώντας στην την (1)

έχω:

ή

απ' όπου $\boxed{x=-10}$ ή $\boxed{x=-10-\sqrt{10}}$ ή $\boxed{x=-10+\sqrt{10}}$

Ομοίως στη δεύτερη εξίσωση βρίσκω t=-95

και τελικά $\boxed{x=-10+\sqrt 5}$ ή $\boxed{x=-10-\sqrt 5}$

Nikitas K. · #3

$\forall x\in \mathbb{R}~ (x-3)(x-1)(x+1)(x+3) = (x^2-9)(x^2-1) = x^4-10x^2+9$

$\displaystyle {(x+7)(x+9)(x+11)(x+13) - 9 = 0 \overset{u:=x+10}{\Leftrightarrow} (u-3)(u-1)(u+1)(u+3) - 9 = 0}$

$\displaystyle {\Leftrightarrow u^4-10u^2 =0 \Leftrightarrow u = 0 \vee u=\pm\sqrt{10}\right \Leftrightarrow x=-10 \vee x = -10 \pm \sqrt{10}}$

$\displaystyle {(x+7)(x+9)(x+11)(x+13)+16 = 0 \overset{u:=x+10}{\Leftrightarrow} (u-3)(u-1)(u+1)(u+3) + 16 = 0}$

$\displaystyle {\Leftrightarrow u^4 - 10u^2 + 25 = 0 \Leftrightarrow (u^2-5)^2 = 0 \Leftrightarrow u = \pm \sqrt{5}\Leftrightarrow x = -10 \pm \sqrt{5}}$

KARKAR · #4

Πιθανόν να απορήσει κάποιος γιατί να ασχοληθούμε και με τις δύο "εξαδέλφες" .

Η πρώτη μπορεί να λυθεί και με τον κλασικό τρόπο . Κάνοντας τις πράξεις , παίρνουμε :

x^4+40x^3+590x^2+3800x+9000=(x+10)^2(x^2+20x+90)=0

.

Αντίθετα η δεύτερη γίνεται : x^4+40x^3+590x^2+3800x+9025=0

,

για την οποία πλέον πρέπει να καταφύγουμε σε "άλλα κόλπα " ...

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 11, 2025 11:32 am Πιθανόν να απορήσει κάποιος γιατί να ασχοληθούμε και με τις δύο "εξαδέλφες" .

Η πρώτη μπορεί να λυθεί και με τον κλασικό τρόπο . Κάνοντας τις πράξεις , παίρνουμε :

.

Αντίθετα η δεύτερη γίνεται : ,

για την οποία πλέον πρέπει να καταφύγουμε σε "άλλα κόλπα " ...

.
Η μεθοδολογία των παραπάνω πολυωνυμικών εξισώσεων είναι πάντα χρήσιμη να την βλέπουν οι μαθητές αν και είναι χιλιοειπωμένη κοινοτυπία. Υπάρχει σε κάθε βιβλίο με ασκήσεις στα πολυώνυμα, και με πάαααμπολλες εμφανίσεις στο εδώ φόρουμ. Συνήθως είναι της μορφής ABCD=p

άπου τα

είναι πρωτοβάθμια και για την επίλυση τα ομαδοποιούμε ως (AD)(BC)=p

. Έτσι έγινε και παραπάνω.

Όμως το ενιαφέρον είναι ότι, σπανιότερα, εμφανίζεται και μία παραλλαγή όπου η ομαδοποίηση γίνεται ως (AC)(BD)=p

. Mια τέτοια περίπτωση υπάρχει στο φόρουμ

εδώ

Οι δύο εξαδέλφες

Οι δύο εξαδέλφες

Re: Οι δύο εξαδέλφες

Re: Οι δύο εξαδέλφες

Re: Οι δύο εξαδέλφες

Re: Οι δύο εξαδέλφες

Μέλη σε σύνδεση