Από λογάριθμο σε ανισοϊσότητα

Grosrouvre · #1

Εάν οι θετικοί αριθμοί

και

ικανοποιούν τη σχέση $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ , τότε να αποδείξετε ότι θα ισχύει $a b \geq 4$ .

Επίσης, στην περίπτωση που a b = 4

, να αποδειχθεί ότι a = b = 2

.

Christos.N · #2

$ln(a+b)=lna+lnb\Leftrightarrow a+b=ab \Rightarrow a^2+b^2+2ab=a^2b^2\Rightarrow_{a^2+b^2\geq 2ab} \\4ab\leq a^2b^2 \Rightarrow_{ab>0} 4\leq ab$

Αν ab=4

τότε $ab=4\Rightarrow a=\frac{4}{b}\Rightarrow \frac{4}{b}+b=4\Rightarrow b=2$ άρα και a=2

.

KARKAR · #3

$a+b=ab\Leftrightarrow b=\dfrac{a}{a-1}$ , δηλαδή : $ab=\dfrac{a^2}{a-1}=a+1+\dfrac{1}{a-1}=a-1+\dfrac{1}{a-1}+2\geq 4$

Φυσικά με τους απαραίτητους περιορισμούς ....

#4

Είναι

και από

παίρνουμε $\displaystyle{a - 1 = \frac{a}{b} > 0}$ , άρα a>1

και ομοίως b>1

$\displaystyle{a + b = ab \Leftrightarrow b = \frac{a}{{a - 1}} \Leftrightarrow ab = \frac{{{a^2}}}{{a - 1}} \geqslant 4\mathop \Leftrightarrow \limits^{\alpha > 1} {(a - 2)^2} \geqslant 0}$ , που ισχύει.

$\displaystyle{a + b = ab = 4}$ , άρα τα a,b

είναι ρίζες της εξίσωσης x^2-4x+4=0

, οπότε $\boxed{a=b=2}$

#5

Grosrouvre έγραψε:Εάν οι θετικοί αριθμοί και ικανοποιούν τη σχέση $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ , τότε να αποδείξετε ότι θα ισχύει $a b \geq 4$ .

Επίσης, στην περίπτωση που , να αποδειχθεί ότι .

Λίγο αλλιώς: Από την a + b=ab

(όπως στις προηγούμενες λύσεις) και με ΑΜ-ΓΜ έχουμε $ab = a+b \ge 2 \sqrt {ab}\, (*)$ από όπου το ζητούμενο μέσω της ισοδύναμης $\sqrt {ab} \ge 2$ . Η περίπτωση ab=4

δίνει ισότητα των δύο άκρων της (*)

, άρα

, οπότε αμέσως a=b=2

.

Από λογάριθμο σε ανισοϊσότητα

Από λογάριθμο σε ανισοϊσότητα

Re: Από λογάριθμο σε ανισοϊσότητα

Re: Από λογάριθμο σε ανισοϊσότητα

Re: Από λογάριθμο σε ανισοϊσότητα

Re: Από λογάριθμο σε ανισοϊσότητα

Μέλη σε σύνδεση