Και άρρητη και αδύνατη

hlkampel · #1

Να δείξετε ότι η εξίσωση $\sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt {2{x^2} - x + 9} = \sqrt {{x^2} + x + 1}$ είναι αδύνατη στο

big-pitsirikos · #2

hlkampel έγραψε:Να δείξετε ότι η εξίσωση $\sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt {2{x^2} - x + 9} = \sqrt {{x^2} + x + 1}$ είναι αδύνατη στο

Έστω ότι έχει λύσεις στο $\mathbb{R}$ .

Αφού $\sqrt{x^2+x+1}>0$ ( D<0

...), πρέπει $\sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt {2{x^2} - x + 9}>0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 4}$

$>\sqrt {2{x^2} - x + 9} \Leftrightarrow x^2+3x+4>2x^2-x+9 \Leftrightarrow x^2-4x+5<0 \Leftrightarrow (x-2)^2<-1$ , άτοπο.

Άρα, η δοσμένη είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$ .

#3

Αλλιώς:

Χρησιμοποιούμε την $\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b>0.}$

Έστω $\displaystyle{x}$ λύση της εξίσωσης. Είναι

$\displaystyle{\sqrt{x^2+3x+4}=\sqrt{2x^2-x+9}+\sqrt{x^2+x+1}>\sqrt{3x^2+10},}$

άρα

$\displaystyle{3x^2+10<x^2+3x+4$ , οπότε $\displaystyle{2x^2-3x+6<0.}$ Άτοπο!

Και άρρητη και αδύνατη

Και άρρητη και αδύνατη

Re: Και άρρητη και αδύνατη

Re: Και άρρητη και αδύνατη

Μέλη σε σύνδεση