Μικτή

#1

Αν $\displaystyle{x,y>0}$ , να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{{{x}^{2\ln y}}-2{{y}^{\ln x}}+{{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x=1}$

hlkampel · #2

exdx έγραψε:Αν $\displaystyle{x,y>0}$ , να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{{{x}^{2\ln y}}-2{{y}^{\ln x}}+{{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x=1}$

Γιώργο Καλήμέρα και Καλή Ανάσταση

Δίνω μια λύση (αν δεν έχει λάθος...)

Για να έχει λύση η εξίσωση πρέπει $x \ne \kappa \pi$ και $x \ne \kappa \pi + \dfrac{\pi }{2},\kappa \in {{\rm N}^*}$

Είναι $\displaystyle{{x^{\ln y}} = {y^{\ln x}} \Leftrightarrow \ln {x^{\ln y}} = \ln {y^{\ln x}} \Leftrightarrow \ln y\ln x = \ln x\ln y}$ ισχύει

Με ${y^{\ln x}} = {x^{\ln y}}$ η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$\displaystyle{{\left( {{x^{\ln y}}} \right)^2} - 2{x^{\ln y}} + 1 + {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} - 2 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {{x^{\ln y}} - 1} \right)^2} + {\left( {\tan x - \dfrac{1}{{\tan x}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^{\ln y}} - 1 = 0}$ και $\displaystyle{tanx - \frac{1}{{\tan x}} = 0}$

Από την δεύτερη εξίσωση παίρνουμε $\tan x = 1\;\dot \eta \;\tan x = - 1$

$x = \lambda \pi + \dfrac{\pi }{4}\;\dot \eta \;x = \lambda \pi + \dfrac{{3\pi }}{4}\;,\;\lambda \in {\rm N}$

Με αυτά τα

από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε:

${x^{\ln y}} = 1 \Leftrightarrow \ln y = 0 \Leftrightarrow y = 1$

Μικτή

Μικτή

Re: Μικτή

Μέλη σε σύνδεση