Μέγιστη Τιμή

mick7 · #1

Να βρεθεί το η μέγιστη τιμή της παράστασης παρακάτω για $\displaystyle a,b>0$

$\displaystyle A(a,b)=ab(9-a-b)$

#2

mick7 έγραψε: Τετ Μάιος 27, 2020 11:12 pm Να βρεθεί το η μέγιστη τιμή της παράστασης παρακάτω για $\displaystyle a,b>0$

$\displaystyle A(a,b)=ab(9-a-b)$

$\displaystyle A(a,b) = ab(9 - a - b) \le ab(9 - 2\sqrt {ab} ).$ Θέτω $\displaystyle x = \sqrt {ab} > 0$ και αναζητώ τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης

$\displaystyle f(x) = 9{x^2} - 2{x^3}$ που εύκολα βρίσκω ότι είναι

για

Άρα, $\displaystyle \max \left( {A(a,b)} \right) = 27$ όταν a=b=3.

#3

Καλημέρα σε όλους.

Οι αριθμοί a, b, 9-a-b

έχουν σταθερό άθροισμα, ίσο με

.
Το γινόμενό τους θα γίνει μέγιστο όταν γίνουν ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι.

Αυτό συμβαίνει όταν a = b = 3

.

edit: Τα παλιά σχολικά βιβλία αναφέρονται σε θετικούς όρους. Π.χ. Π. Τόγκας Άλγεβρα Β, σ. 900, Θ. 835ΙΙΙ

Για δύο όρους έχω απόδειξη ότι ισχύει και για αρνητικούς.

Επιφυλάσσομαι για την απόδειξη για τρεις όρους και άνω.

#4

mick7 έγραψε: Τετ Μάιος 27, 2020 11:12 pm Να βρεθεί το η μέγιστη τιμή της παράστασης παρακάτω για $\displaystyle a,b>0$

$\displaystyle A(a,b)=ab(9-a-b)$

Καλησπέρα...

Ας το δούμε και με τη χρήση του τριωνύμου:

Έστω λοιπόν ότι:

$\displaystyle{f(a)=A(a,b)=ab(9-a-b)=-ba^2+(9b-b^2)a \Rightarrow}$

$\displaystyle{ f(a)=-ba^2+(9b-b^2)a, \ \ -b<0 \ \ (1)}$

Το τριώνυμο αυτό έχει: $\displaystyle{D=b^2(9-b)^2 \geq 0 \ \ (2)}$

Έτσι λοιπόν το τριώνυμο αυτό έχει μέγιστη τιμή την

$\displaystyle{f_{max}=(-\frac{D}{4a})=-\frac{b^2(9-b)^2}{4(-b)} \Rightarrow f_{max}=\frac{1}{4}b(9-b)^2 \ \ (3)}$

για $\displaystyle{a=(-\frac{b}{2a})=-\frac{9b-b^2}{2(-b)}=\frac{9-b}{2} \ \ (4)}$

Στη συνέχεια μελετούμε το ακρότατο της παράστασης:

$\displaystyle{h(b)=\frac{1}{4}b(9-b)^2=\frac{1}{4}(b^3-18b^2+81b) \ \ (5)}$

Είναι:

$\displaystyle{h'(b)=\frac{1}{4}(3b^2-36b+81)=\frac{3}{4}(b^2-12b+27)=\frac{3}{4}(b-3)(b-9) \ \ (6)}$

Άρα έχουμε τον πίνακα:

: Μέγιστο 11.png (7.77 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

Σύμφωνα με τον ανωτέρω πίνακα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για τις τιμές του αριθμού $\displaystyle{b}$ Q

1η Περίπτωση:
Έστω ότι είναι: $\displaystyle{0<b\leq 9}$ , τότε από τις τιμές του πίνακα αυτού στο διάστημα αυτό και
από την (3) προκύπτει:

$\displaystyle{f_{max}=27, \ \ (7)}$ για $\displaystyle{b=3 \ \ (7) }$ και λόγω της (4) για $\displaystyle{a=3}$

2η Περίπτωση:

Έστω ότι είναι: $\displaystyle{ b\geq9 }$ , τότε: $\displaystyle{ f(a)=A(a,b)=ab(9-a-b) <0}$ διότι $\displaystyle{9-b/leq 0 \Rightarrow 9-a-b /leq 0}$ .

Άρα το μέγιστο της σχέσης (7) παραμένει και για τις τιμές $\displaystyle{b\in(0,\infty)}$

Παρατήρηση:
Η σχέση $\displaystyle{A(a,b)=ab(9-a-b), \ \ a,b \leq 0}$ εκφράζει μια επιφάνεια την οποία βλέπουμε στο
παρακάτω σχήμα:

: Μέγιστο 12.png (41.43 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

Στο σχήμα αυτό σημειώθηκε στο χώρο και το ακρότατο σημείο $\displaystyle{M(3,3,27)}$ .

Κώστας Δόρτσιος

#5

Παραθέτω και μια ακόμα απεικόνιση της επιφάνειας αυτής

με το λογισμικό Maple. Ίσως είναι ομορφότερο!

: Μέγιστο 13.png (84.68 KiB) Προβλήθηκε 1981 φορές

Στην εξίσωση:

$\displaystyle{z=A(x,y)=xy(9-x-y)}$ έχω ορίσει τα $\displaystyle{x,y}$ ως εξής:

$\displaystyle{0<x\leq 14}$ και $\displaystyle{0<y \leq 14}$ .

Επίσης έχω ορίσει το διάστημα $\displaystyle{[-3,27]}$ ώστε να φαίνεται ένα μέρος
της όλης επιφάνειας.

Κώστας Δόρτσιος

mick7 · #6

Ευχαριστώ όλους όσους ασχολήθηκαν. Η λύση που έχω είναι με ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.

$\displasytyle ab(9-a-b)\leq(\frac{a+b+9-a-b}{3})^3=27$

Μέγιστη Τιμή

Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Re: Μέγιστη Τιμή

Μέλη σε σύνδεση