Παραμετρική εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιές τιμές της παραμέτρου

η εξίσωση

έχει τουλάχιστον τέσσερεις ακέραιες λύσεις;

#2

Φανερά

Με $a\neq 0$ γράφουμε ισοδύναμα

$\left |a+x \right |+\left | x+\dfrac{1}{a^2} \right |=\dfrac{1}{a^2}-a$

Τώρα $\dfrac{1}{a^2}-a\geq 0$ ισοδύναμα $a \leqslant 1$

Η παραπάνω εξίσωση αληθεύει αν και μόνο αν το άθροισμα των απoστάσεων της εικόνας του

από τις εικόνες των

και $\dfrac{1}{a^2}$ ισούται με την απόσταση των εικόνων των

και $\dfrac{1}{a^2}$ , επομένως η εικόνα του

κείται μεταξύ των εικόνων των

και $\dfrac{1}{a^2}$ ή συμπίπτει με μία από αυτές, που συμβαίνει αν και μόνο αν

$a \leq -x \leq \dfrac{1}{a^2}$ .

Έστω $a\leqslant - 1$
Για να έχουμε τουλάχιστον 4 ακέραιες λύσεις ως προς

, αφού $0 < \dfrac{1}{a^2}<1$ , αυτές θα είναι οι 0, -1,-2, -3

, επομένως $a\leqslant -3$

κ.λπ. οι περιπτώσεις με -1<a<0

και $0<a\leq 1$

Παραμετρική εξίσωση

Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση