Η δεύτερη τριχοτόμος

KARKAR · #1

: Η δεύτερη τριχοτόμος.png (9.06 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Υπολογίστε την τριχοτόμο

στο παρατιθέμενο σχήμα .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 23, 2023 9:42 am Η δεύτερη τριχοτόμος.pngΥπολογίστε την τριχοτόμο στο παρατιθέμενο σχήμα .

Το κάνω Τριγωνομετρικά, αλλά μπορούμε και Γεωμετρικά.

Aν

η κάθε μία από τις τρεις ίσες γωνίες της κορυφής τότε $\tan 3a = \dfrac {AC}{AB} = \dfrac {52}{36} = \dfrac {13}{9}$ . Άρα από τον τύπο

$\dfrac {3t-t^3}{1-3t} = \tan 3a = \dfrac {13}{9}$ , όπου $t=\tan a$ , έχουμε μετά τις πράξεις 9t^3-39t^2-27t+13=0

. Ισοδύναμα

(3t-1)(3t^2-12t-13)=0

. Έχει ρίζες $t = \dfrac {1}{3}$ και $t= \dfrac {6\pm 5\sqrt 3}{3}$ . Οι δύο τελευταίες απορρίπτονται γιατί η μία είναι αρνητική και η άλλη

(που σημαίνει a>45^o

ενώ πρέπει μα είναι μικρότερη του 90:3=30^ ο

). Mένει η t=1/3

. Άρα

$AE = AB \tan 2a= 36\cdot \dfrac {2t}{1-t^2} = 36\cdot \dfrac { \frac {2}{3} }{1- \frac {1}{9} }= 27$ .

Από Πυθαγόρειο $BE = \sqrt {AB^2+AE^2}= \sqrt {36^2+27^2}= 45$ .

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 23, 2023 9:42 am Υπολογίστε την τριχοτόμο στο παρατιθέμενο σχήμα .

: shape.png (14.05 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Με αλλαγή φακέλου. Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

.

Από τη διχοτόμο BD = y

της $\angle CBD':$ $\dfrac{y}{{2k}} = \dfrac{{20\sqrt {10} }}{{52 - k}}\,\,(1)$ και από Π.Θ. στο $\triangle ABD:{y^2} = {k^2} + {36^2}\,\,(2)$ .

Από το σύστημα των (1),(2)

η μόνη δεκτή λύση είναι η $(k,y) = \left( {12,12\sqrt {10} } \right)$ , οπότε από τη διχοτόμο

της $\angle EBA:\,DE = \dfrac{x}{3}$ .

Τέλος, από Π.Θ. στο $\triangle ABE:{x^2} = {36^2} + {\left( {12 + \dfrac{x}{3}} \right)^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = 45$

Η δεύτερη τριχοτόμος

Η δεύτερη τριχοτόμος

Re: Η δεύτερη τριχοτόμος

Re: Η δεύτερη τριχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση