Αυτά δεν λέγονται

KARKAR · #1

Σε πρόσφατη άσκηση κάποιος βρήκε αποτέλεσμα : $\sqrt{2}+\sqrt{6}$ . Κάποιος άλλος βρήκε : $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$ . Σωστοί !

Βρείτε όλες τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες , ώστε για τους θετικούς ακέραιους : a , b , k , m

, να ισχύει :

$\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{k+\sqrt{m}}$ . Δώστε ένα παράδειγμα με γνωστούς τους a ,b

κι ένα με γνωστούς τους k,m

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2024 12:50 pm
Σε πρόσφατη άσκηση κάποιος βρήκε αποτέλεσμα : $\sqrt{2}+\sqrt{6}$ . Κάποιος άλλος βρήκε : $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$ . Σωστοί !

Βρείτε όλες τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες , ώστε για τους θετικούς ακέραιους : , να ισχύει :

$\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{k+\sqrt{m}}$ . Δώστε ένα παράδειγμα με γνωστούς τους κι ένα με γνωστούς τους .

$\displaystyle \sqrt a + \sqrt b = 2\sqrt {k + \sqrt m } \Leftrightarrow a + b + 2\sqrt {ab} = 4k + 4\sqrt m$ κι επειδή οι a, b, k, m

είναι θετικοί ακέραιοι θα πρέπει $\boxed{a+b=4k}$ και $\boxed{ab=4m}$ όπου a,b

άρτιοι.

Για την ακρίβεια $\displaystyle a = 2k + 2\sqrt {{k^2} - m} ,b = 2k - 2\sqrt {{k^2} - m}$ (ή και αντίστροφα) και το k^2-m

είναι τέλειο τετράγωνο.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: a=10, b=6, k=4, m=15.

$\displaystyle 2\sqrt {4 + \sqrt {15} } = 2\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}} = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) = \sqrt {10} + \sqrt 6$

Δεν ξέρω αν ζητάς κάτι άλλο Θανάση.

KARKAR · #3

Ας γίνω σαφέστερος : Είναι : $\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}} = 2\sqrt{\dfrac{a+b}{4}+\dfrac{\sqrt{ab}}{2}}$ .

Επομένως αρκεί οι : k = a+b , m = ab

, να είναι αμφότεροι πολλαπλάσια του

.

Παράδειγμα : $\sqrt{6}+\sqrt{14}=2\sqrt{5+\sqrt{21}$ , ( γνωρίζοντας τους : a=6 , b=14

) .

Αντίστροφα : $2\sqrt{13+\sqrt{165}}=\sqrt{22}+\sqrt{30}$ , ( γνωρίζοντας τους : k=13 , m=165

και λύνοντας το σύστημα : $a+b=4\cdot 13 , ab=4\cdot 165$ ) .

Αυτά δεν λέγονται

Αυτά δεν λέγονται

Re: Αυτά δεν λέγονται

Re: Αυτά δεν λέγονται

Μέλη σε σύνδεση