Κλασιικό ερώτημα .... (Αριστοτελικό)

#1

Για τους ρητούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$ γνωρίζουμε ότι:

$\displaystyle{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0}$

Τότε να δείξετε ότι:

$\displaystyle{a=b=c=0}$

#2

KDORTSI έγραψε: Παρ Μαρ 07, 2025 8:04 am Για τους ρητούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$ γνωρίζουμε ότι:

$\displaystyle{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0}$

Τότε να δείξετε ότι:

$\displaystyle{a=b=c=0}$

.
Υπάρχουν πολλοί και ενδιαφέροντες τρόποι αντιμετώπισης. Κάνω την αρχή με έναν κάπως ανορθόδοξο.

Πολλαπλάσιάζοντας την δοθείσα επί $\sqrt[3]{2}$ παίρνουμε

$\displaystyle{a\sqrt[3]{2}+b\sqrt[3]{4}+2c=0}$

Πολλαπλάσιάζοντας την αρχική επί

, την προηγούμενη επί

και αφαιρώντας κατά μέλη, παίρνουμε

$(ac-b^2) \sqrt[3]{2} = 2c^2-ab$

Επειδή ο $\sqrt[3]{2}$ είναι άρρητος, έπεται ac-b^2=2c^2-ab=0

, ισοδύναμα ac=b^2

και

. Οπότε, αντίστοιχα, $abc=b^3, \, abc=2c^3$ . Δηλαδή b^3=2c^3

, ισοδύναμα $b= c\sqrt[3]{2}$ . Από την αρρητότητα του $\sqrt[3]{2}$ έπεται b=c=0

και, επίσης, άμεσο, a=0

.

abfx · #3

KDORTSI έγραψε: Παρ Μαρ 07, 2025 8:04 am Για τους ρητούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$ γνωρίζουμε ότι:

$\displaystyle{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0}$

Τότε να δείξετε ότι:

$\displaystyle{a=b=c=0}$

Η ακόλουθη μέθοδος δεν γνωρίζω αν είναι εντός ύλης β' Λυκείου.

Έστω $p(x)=a+bx+cx^2 \in \mathbb Q[x]$ και υποθέτουμε προς άτοπο ότι το

δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Τότε, εφόσον το f(x)=x^3-2

είναι ανάγωγο (πάνω από το $\mathbb Q$ ) και $-\infty <\deg p < \deg f=3$ , τα f,p

είναι πρώτα μεταξύ τους.

Άρα, υπάρχουν $q,r\in \mathbb Q[x]$ ώστε q(x)f(x)+r(x)p(x)=1

. Βάζοντας $x=\sqrt[3]{2}$ προκύπτει 0=1

, άτοπο.

Σχόλιο: Φυσικά τα παραπάνω γενικεύονται. Μπορούμε παραδείγματος χάριν με όμοιο τρόπο να δείξουμε ότι αν

$a_0+a_1\sqrt[n]{2}+\ldots + a_{n-1}\sqrt[n]{2^{n-1}}=0$ για $a_0,a_1,\ldots a_{n-1}\in \mathbb Q, n\geq 2$ , τότε

$a_0=a_1=\ldots =a_{n-1}=0$ , δηλαδή τα στοιχεία $1,\sqrt[n]{2},\ldots ,\sqrt[n]{2^{n-1}}$

είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία του $\mathbb R$ ως $\mathbb Q$ -διανυσματικού χώρου.

Κλασιικό ερώτημα .... (Αριστοτελικό)

Κλασιικό ερώτημα .... (Αριστοτελικό)

Re: Κλασιικό ερώτημα .... (Αριστοτελικό)

Re: Κλασιικό ερώτημα .... (Αριστοτελικό)

Μέλη σε σύνδεση