Στριφνή τριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Στριφνή τριγωνομετρία.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

του παρατιθέμενου σχήματος , υπολογίστε το $\cos2\theta$ .

Nikitas K. · #2

: Στριφνή τριγωνομετρία.png (21.44 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ABC

και

προκύπτει:

$BC^2 = 25x^2 + AC^2 \quad\color{blue}*$

$SC^2 = x^2 + AC^2 \quad\color{blue}**$

Από το θεώρημα εδώ στο τρίγωνο SBC

προκύπτει:

$16x^2 = SC^2 + SC \cdot BC \quad \color{blue} {***}$

Με αφαίρεση κατά μέλη των σχέσεων $\color{blue} *$ και $\color{blue}{**}$ προκύπτει:

$\displaystyle {BC^2 - SC^2 = 24x^2 \underset{y:= SC}{\overset{{\color{blue} {***} }}{\Leftrightarrow}} \left(\dfrac{16x^2 - y^2}{y}\right)^2 - y^2 = 24x^2 \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{\sqrt{14}}{8} \Leftrightarrow \cos(3\theta) = \dfrac{\sqrt{14}}{8}}$

$\displaystyle {\Leftrightarrow \cos(2\theta) = \cos\left(\dfrac{2}{3} \arccos\left(\left\dfrac{\sqrt{14}}{8}\right)\right) \Leftrightarrow \cos(2\theta)=\dfrac{3}{4}}$

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 09, 2025 6:22 pm Στριφνή τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του παρατιθέμενου σχήματος , υπολογίστε το $\cos2\theta$ .

$\displaystyle \tan 3\theta = \frac{b}{x},\tan \theta = \frac{b}{{5x}} \Rightarrow \frac{b}{x} = \dfrac{{\dfrac{{3b}}{{5x}} - \dfrac{{{b^3}}}{{125{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{{3{b^2}}}{{25{x^2}}}}} \Leftrightarrow 75{x^2} - {b^2} = 125{x^2} - 15{b^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{{b^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{25}}{7} \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta = \frac{1}{7} \Leftrightarrow {\cos ^2}\theta = \frac{7}{8},$ απ' όπου, $\boxed{\cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta - 1 = \frac{3}{4}}$

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 09, 2025 6:22 pm Στριφνή τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του παρατιθέμενου σχήματος , υπολογίστε το $\cos2\theta$ .

Γράφω το κύκλο $\left( {S,4x} \right)$ και τέμνει την

ακόμα στο

.

Προφανές ότι οι γωνίες με ίδιο χρώμα είναι μεταξύ τους ίσες . Έχουν δοθεί , $AS = x\,\,,\,\,SB = 4x$ .

Θέτω , $CT = a\,\,,\,\,TS = y\,\,,\,\,CS = CD = b\,\,$ .

Ισχύουν από Π. Θ. στα $\vartriangle TSC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle TSB$ :

: Στριφνή Τριγωνομετρία.png (20.74 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

${b^2} = {a^2} + {y^2}\,\,\left( 1 \right)$ και $16{x^2} = {y^2} + {\left( {a + b} \right)^2}$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει : $8{x^2} = {b^2} + ab\,\,\left( * \right)$

Επίσης , $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}$ που γράφεται , ${b^2} - {x^2} = {\left( {2a + b} \right)^2} - 25{x^2} \Leftrightarrow 6{x^2} = {a^2} + ab\,\,\left( { * * } \right)$

Από τις $\left( * \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( { * * } \right)$ προκύπτει : $\boxed{\frac{{6{x^2}}}{{8{x^2}}} = \frac{{{a^2} + ab}}{{{b^2} + ab}} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = \cos 2\theta }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 09, 2025 6:22 pm Στριφνή τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του παρατιθέμενου σχήματος , υπολογίστε το $\cos2\theta$ .

Με $CZ=BC\Rightarrow \angle CZB= \theta \Rightarrow \dfrac{CS}{CZ} = \dfrac{4x}{10x}= \dfrac{2}{5} \Rightarrow SZ= \dfrac{7}{2}CS$

$(4x)^2=CS.SZ=\dfrac{7}{2}CS^2 \Rightarrow CS^2= \dfrac{32}{7}x^2$ και με Π.Θ $b^2= \dfrac{25}{7}x^2 \Rightarrow a^2= \dfrac{144}{7}x^2$

Τέλος ,εύκολα ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο CSB

δίνει $cos2 \theta = \dfrac{3}{4}$

: Στριφνή τριγωνομετρία ...png (44.17 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Στριφνή τριγωνομετρία

Στριφνή τριγωνομετρία

Re: Στριφνή τριγωνομετρία

Re: Στριφνή τριγωνομετρία

Re: Στριφνή τριγωνομετρία

Re: Στριφνή τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση