Tιμή

mick7 · #1

Να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του

ώστε η ανίσωση

$\displaytype \sqrt{x} - \sqrt{x - k} \ge 3$

να έχει πραγματική λύση.

Γιώργος Νικολής · #2

\sqrt{x} - sqrt{x-k} \geq 3 <=> \sqrt{x} \geq \sqrt{x-k} + 3 => x \geq 9 - k + 6 \sqrt{x-k} <=> k-9 \geq 6 \sqrt{x-k} \geq 0 <=> k-9 \geq 0 <=> k \geq 9

#3

Γιώργος Νικολής έγραψε: Παρ Φεβ 20, 2026 5:22 pm $\sqrt{x} - \sqrt{x-k} \geq 3 <=> \sqrt{x} \geq \sqrt{x-k} + 3 => {\color {red} x } \geq 9 - k + 6 \sqrt{x-k} <=> k-9 \geq 6 \sqrt{x-k} \geq 0 <=> k-9 \geq 0 <=> k \geq 9$

.
Γιώργο,

διόρθωσε σε παρακαλώ το latex για να μπορούμε να διαβάσουμε τι λες.

Στο παραπάνω απλά έβαλα "δολλάρια" αριστερά και δεξιά του κειμένου σου, και τώρα βγαίνει άκρη, αν και υπάρχουν ακόμα λάθη στο latex.

Επί της ουσίας τώρα: Μπορείς σε παρακαλώ να εξηγήσεις το βήμα

$k-9 \geq 6 \sqrt{x-k} \geq 0 \Leftrightarrow k-9 \geq 0$

Συγκεκριμένα, την συνεπαγωγή " $\Rightarrow$ " την βλέπω, αλλά την " $\Leftarrow$ " δεν την βλέπω. Καμιά εξήγηση;

Επίσης υπάρχει ένα τυπογραφικό σφάλμα στο σημείο που κοκκίνισα: Αντί για

το σωστό είναι

.

Γιώργος Νικολής · #4

$\sqrt{x} - sqrt{x-k} \geq 3 <=> \sqrt{x} \geq \sqrt{x-k} + 3 => 0 \geq 9 - k + 6 \sqrt{x-k} <=> k-9 \geq 6 \sqrt{x-k} \geq 0 <=> k-9 \geq 0 <=> k \geq 9$
Αρχικά έκανα την διόρθωση, επιπλέον έχω βάλει συνεπαγωγή επειδή υψώνω στο τετράγωνο. Τι θα μπορούσα να κάνω διαφορετικά για να διατηρήσω την ισοδυναμία;

#5

Γιώργος Νικολής έγραψε: Παρ Φεβ 20, 2026 9:43 pm $\sqrt{x} - sqrt{x-k} \geq 3 <=> \sqrt{x} \geq \sqrt{x-k} + 3 => 0 \geq 9 - k + 6 \sqrt{x-k} <=> k-9 \geq 6 \sqrt{x-k} \geq 0 <=> k-9 \geq 0 <=> k \geq 9$
Αρχικά έκανα την διόρθωση, επιπλέον έχω βάλει συνεπαγωγή επειδή υψώνω στο τετράγωνο. Τι θα μπορούσα να κάνω διαφορετικά για να διατηρήσω την ισοδυναμία;

Γιώργο, μάλλον δεν έχεις κατανοήσει για ποιο $\Leftrightarrow$ συζητώ. ΔΕΝ είναι στο σημείο όπου υψώνεις στο τετράγωνο αλλά το δεύτερο $\Leftrightarrow$ μετά από αυτό. Το βήμα εκεί ΔΕΝ αντιστρέφεται. Το πώς θα το διευθετήσεις είναι άλλη ιστορία και μάλιστα, αν το δεις σωστά, είναι απλό. Το αφήνω για να έχεις την χαρά να το σκεφθείς, αλλιώς θα γράψω το απαιτούμενο βήμα.

#6

mick7 έγραψε: Παρ Φεβ 20, 2026 4:31 pm Να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του ώστε η ανίσωση
$\displaytype \sqrt{x} - \sqrt{x - k} \ge 3$

να έχει πραγματική λύση.

Μια λύση με παραγώγους:

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt x - \sqrt {x - k} ,\;\;k \in IR$ έχει Π.Ο. $\displaystyle A = \left[ {\min \left\{ {0,k} \right\}, + \infty } \right)$

Στο $\displaystyle A' = \left( {\min \left\{ {0,k} \right\}, + \infty } \right)$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x - k} - \sqrt x }}{{2\sqrt x \cdot \sqrt {x - k} }}$

Αν k>0

, είναι γν. φθίνουσα, με $\displaystyle f\left( A \right) = \left( {0,\;\sqrt k } \right]$ , άρα έχει μέγιστο $\displaystyle f\left( k \right) = \sqrt k$ ,

οπότε η μικρότερη δυνατή τιμή του k ώστε η ανίσωση $f\left( x \right) \ge 3$ να έχει πραγματική λύση είναι k=9

.

Aν $k\le 0$ , είναι $\displaystyle f\left( x \right) \le 0$ άρα η ανίσωση $\displaystyle f\left( x \right) \ge 3$ είναι αδύνατη.

Αλγεβρική λύση:

Για να ορίζονται οι τετρ. ρίζες πρέπει και αρκεί: $\displaystyle x \ge 0\;\; \wedge \;\;x \ge k$

Αν $k\le 0$ , $\displaystyle \sqrt x \le \sqrt {x - k} \Leftrightarrow \sqrt x - \sqrt {x - k} \le 0$ . Η ανίσωση είναι αδύνατη.

Για k >0

, πρέπει $x \ge k$ . Τότε:

$\displaystyle \sqrt x - \sqrt {x - k} \ge 3 \Leftrightarrow - \sqrt {x - k} \ge 3 - \sqrt x \Leftrightarrow \sqrt {x - k} \le \sqrt x - 3$

Αν x<9

αδύνατη.

Για $x \ge 9$ έχουμε ισοδύναμα: $\displaystyle x - k \le x - 6\sqrt x + 9 \Leftrightarrow k + 9 \ge 6\sqrt x \Rightarrow k + 9 \ge 18 \Leftrightarrow k \ge 9$ .

Η τιμή αυτή ικανοποιεί την αρχική ανίσωση. Άρα πρέπει και αρκεί $k \ge 9$

Υ.Γ. Έγραψα αναλυτικά την Αλγεβρική λύση που έδωσε ο Γιώργος σε προηγούμενη ανάρτηση για να συμβάλλω στη συζήτηση που προηγήθηκε.

#7

mick7 έγραψε: Παρ Φεβ 20, 2026 4:31 pm Να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του ώστε η ανίσωση

$\displaytype \sqrt{x} - \sqrt{x - k} \ge 3$

να έχει πραγματική λύση.

.
Έχω κατά νου δύο λύσεις. Η μία είναι στην ίδια γραμμή με τους δύο Γιώργους παραπάνω, αλλά εδώ γράφω την δεύτερη.

Το πεδίο όρισμού της ανίσωσης είναι τα $x\ge k$ (όπου k>0

για άμεσο λόγο). Θα δείξουμε δύο πράγματα.

α) Αν $k\ge 9$ τότε υπάρχει

στο πεδίο ορισμού με $\displaytype f(x)= \sqrt{x} - \sqrt{x - k} \ge 3$ .

β) Αν k< 9

τότε για κάθε

στο πεδίο ορισμού ισχύει $\displaytype \sqrt{x} - \sqrt{x - k} < 3$ .

Πράγματι,

α) Με την υπόθεση στο α) παρατηρούμε ότι το x=k

είναι στο πεδίο ορισμού και $f(x)=f(k) = \sqrt{k} - \sqrt{k - k} = \sqrt k \ge 3$ , όπως θέλαμε.

β) Με την υπόθεση στο β) τότε για κάθε $x\ge k$ έχουμε

$f(x) = \sqrt {x} - \sqrt{x- k} = \dfrac {k} {\sqrt x + \sqrt{x- k}} \le \dfrac {k} {\sqrt x } \le \dfrac {k} {\sqrt k } = \sqrt k < 3$ , όπως θέλαμε.

Tα α), β) μαζί δείχνουν ότι το ελάχιστο

για το οποίο η ανίσωση έχει λύση είναι το k=9

.

Tιμή

Tιμή

Re: Tιμή

Re: Tιμή

Re: Tιμή

Re: Tιμή

Re: Tιμή

Re: Tιμή

Μέλη σε σύνδεση