Άθροισμα αποστάσεων 2

#1

Γενίκευση αυτής

: Άθροισμα αποστάσεων.2.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

είναι οι διχοτόμοι τριγώνου ABC

και

οι προβολές τυχαίου σημείου

του τμήματος

πάνω στις

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: MA'=MB'+MC'.

#2

Η απόδειξη της γενίκευσης είναι άμεση γενίκευση της απόδειξης του Ορέστη στην παραπομπή, δηλαδή εδώ.

Την αντιγράφω κάνοντας τις κατάλληλες μικροεπεμβάσεις, για πληρότητα και μόνο. Χρησιμοποιώ το εκεί σχήμα (αντιγραφή ως έχει).

$\displaystyle{ MA' = \frac {DM}{DE}EL + \frac {ME}{DE}DK = \frac {DM}{DE}EP + \frac {ME}{DE}DQ= MB'+MC'}$

(στην δεύτερη ισότητα έγινε π.χ. χρήση της ομοιότητας των τριγώνων $DQE, \, MB'E$ και λοιπά).

#3

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 04, 2018 9:05 am Γενίκευση αυτήςΆθροισμα αποστάσεων.2.png
είναι οι διχοτόμοι τριγώνου και οι προβολές τυχαίου σημείου του τμήματος

πάνω στις αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

: Αθροισαμ αποστάσεων 2.png (30.83 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

Με τα σύμβολα του σχήματος.

1. Από το τραπέζιο $DLNE\,\,:\,\,\dfrac{{x - k}}{{m - x}} = \dfrac{u}{v} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{mu + kv}}{{u + v}}}\,\,\,(1)$

2. Από τα ζεύγη ομοίων τριγώνων : $\vartriangle EMB' \approx \vartriangle EDH\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DMC' \approx \vartriangle DET$

$\left\{ \begin{gathered} \frac{y}{k} = \frac{v}{{u + v}} \hfill \\ \frac{z}{m} = \frac{u}{{u + v}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{{y} + {z} = \frac{{mu + kv}}{{u + v}}}\,\,(2)$ . Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)\,\,$ έχω : $\boxed{x = y + z}$ .

Με πρόλαβε ο Κ. Μιχάλης Λάμπρου .. Αφού γράφω τα " κ.λ.π." !!! το αφήνω .

#4

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 04, 2018 9:05 am Γενίκευση αυτήςΆθροισμα αποστάσεων.2.png
είναι οι διχοτόμοι τριγώνου και οι προβολές τυχαίου σημείου του τμήματος

πάνω στις αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

Να πούμε ότι η σχέση

MA'=MB'+MC'.

ισχύει για κάθε θέση του

επί της ευθείας DE,

αρκεί τα τμήματα MA', MB', MC'

να είναι προσημασμένα ( κατά το πρότυπο των τριγραμμικών συντεταγμένων). Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία

έχει εξίσωση: α = β + γ

Άθροισμα αποστάσεων 2

Άθροισμα αποστάσεων 2

Re: Άθροισμα αποστάσεων 2

Re: Άθροισμα αποστάσεων 2

Re: Άθροισμα αποστάσεων 2

Μέλη σε σύνδεση