Αναζητώντας την μέση τιμή

KARKAR · #1

: Αναζητώντας την μέση τιμή.png (8.41 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Α) Δείξτε ότι για την διάμεσο

, οποιουδήποτε τριγώνου ABC

, ισχύει : $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ .

Β) Ας είναι το τρίγωνο ορθογώνιο στο

. Αν για σημείο

της

, είναι : BS=2SC

και : $AS=\dfrac{AB+AC}{2}$ , υπολογίστε την : $\tan{\hat{C}}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 08, 2020 9:26 pm Αναζητώντας την μέση τιμή.pngΑ) Δείξτε ότι για την διάμεσο , οποιουδήποτε τριγώνου , ισχύει : $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ .

Β) Ας είναι το τρίγωνο ορθογώνιο στο . Αν για σημείο της , είναι :

και : $AS=\dfrac{AB+AC}{2}$ , υπολογίστε την : $\tan{\hat{C}}$ .

α) Υπάρχει σε όλες τις Γεωμετρίες: Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο με κορυφές A,B,C

και το $\displaystyle{2AM}$ γίνεται διαγώνιός του. Τώρα τριγωνική.

β) Aν AB=h

, ψάχνουμε το $\displaystyle{\tan C =\frac {h}{3x}}$

Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle{ \sqrt { h^2+4x^2}= AS=\dfrac{AB+AC}{2}= \dfrac{h+ \sqrt {h^2+9x^2}}{2}}$ .

Με ύψωση στο τετράγωνο δύο φορές και απλές πράξεις θα βρούμε 49x^4=8h^2x^2

(ελπίζω οι πράξεις να είναι σωστές). Άρα $\dfrac {h}{3x} = \dfrac {7}{12}\sqrt2$ .

#3

α ) Απλή άσκηση του σχολικού . Προεκτείνω τη διάμεσο

κατά ίσο τμήμα MA'

. Από τη τριγωνική ανισότητα στο $\vartriangle CAA'$ προκύπτει το ζητούμενο .

: αναζητώ τη μέση τιμή.png (11.7 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

β) Έστω $\boxed{AS = d = \frac{{b + c}}{2}}$ . Από το Θ. Stewart

έχω :

$3k{d^2} = 2k{b^2} + k{c^2} - 6{k^3} \Rightarrow 3{d^2} = 2{b^2} + {c^2} - 6{k^2}$ . Αλλά $d = \dfrac{{b + c}}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,9{k^2} = {b^2} - {c^2}$ Κι έτσι η προηγούμενη δίδει

$7{b^2} - 18bc + 11{c^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( {7b - 11c} \right) = 0$ , άρα $\boxed{\dfrac{c}{b} = \frac{7}{{11}} = \sin C \Rightarrow \tan C = \frac{{7\sqrt 2 }}{{12}}}$

Η Γεωμετρική κατασκευή έγινε με Απολλώνιο κύκλο .

Αναζητώντας την μέση τιμή

Αναζητώντας την μέση τιμή

Re: Αναζητώντας την μέση τιμή

Re: Αναζητώντας την μέση τιμή

Μέλη σε σύνδεση