Τρίγωνα με ίσες περιμέτρους και ίσα εμβαδά

#1

Να βρεθούν άπειρα το πλήθος ανόμοια μεταξύ τους τρίγωνα με ακέραιες πλευρές τα οποία έχουν ίσες περιμέτρους και ίσα εμβαδά.

Ιστορικό σχόλιο: Ο Ολλανδός μαθηματικός Franz van Schooten (1615-1660) είχε θέσει το πρόβλημα "δοθέντος ισοσκελούς τριγώνου να βρεθεί άλλο ισοσκελές με ίση περίμετρο και εμβαδόν". Ο Isaac Newton (1642-1727) έδωσε λύση με τομή υπερβολής και παραβολής.
Παράδειγμα ενός τέτοιου ζεύγους είναι τα ισοσκελή 30-16-16

και

τα οποία έχουν περίμετρο

και εμβαδόν $15\sqrt {31}$ .

#2

Είναι εύκολο από τον τύπο του Ήρωνα να ελεγχθεί ότι τα ζεύγη τριγώνων με πλευρές 2k^2+k+1,2k^2+k+1,2k+2

και

ικανοποιούν το ζητούμενο.

Παραλείπω τις πράξεις αλλά ας δούμε λίγο πως κατέληξα σε αυτά. Αν a,b,c

οι πλευρές του τριγώνου ορίζουμε x = (a+b-c)/2,y = (b+c-a)/2,z=(c+a-b)/2

(γνωστή αντικατάσταση) τότε a = x+z, b=x+y,c=y+z

και ο τύπος του Ήρωνα γίνεται E^2 = (x+y+z)xyz

. Η περίμετρος είναι ίση με 2(x+y+z)

.

Θέλουμε λοιπόν τριάδες ακεραίων (x,y,z)

και

με ίσο άθροισμα και γινόμενο.

Δοκιμάζω τις τριάδες (x,x,z)

και

. (Βάζω την επιπλέον προϋπόθεση να είναι ισοσκελή και τα δύο.) Εξασφάλισα ότι έχουν το ίδιο γινόμενο. Θέτω επίσης z = mk^2

ώστε να είναι και όλοι ακέραιοι. Για το ίσο άθροισμα θέλω 2x + mk^2 = 2kx + m

που δίνει

άρα και

. Θέτω τώρα x = k+1

για να πάρω m=2

και τις τριάδες (k+1,k+1,2k^2)

και

. Αυτές είναι για τα x,y,z

και δίνουν τα αντίστοιχα μήκη που έγραψα για τα a,b,c

. Σαφώς υπάρχουν και άπειρες άλλες επιλογές.

Τρίγωνα με ίσες περιμέτρους και ίσα εμβαδά

Τρίγωνα με ίσες περιμέτρους και ίσα εμβαδά

Re: Τρίγωνα με ίσες περιμέτρους και ίσα εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση