Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος

#1

Δίνεται ένα σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$ και μια ευθεία $\displaystyle{(e)}$ ώστε $\displaystyle{A\notin {(e)}}$ .
Ένα παραλληλόγραμο $\displaystyle{(ABCD)}$ κινείται ώστε η κορυφή του $\displaystyle{B}$ να διατρέχει
την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ , η γωνία $\displaystyle{ \widehat{A}=60^o}$ και ταυτόχρονα να διατηρεί το Εμβαδόν του που είνα ίσο με
μία τετραγωνική μονάδα.
Να βρεθεί ο γ.τόπος της κορυφής $\displaystyle{D}$ του παραλληλογράμμου αυτού.

: Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος .png (9.1 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

KARKAR · #2

: kdortsi.png (26.66 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Φέρουμε $\varepsilon' \parallel \varepsilon$ , την οποία η

τέμνει στο

. $(ABCD)=(ABTS)=a\cdot d=E$

άρα : $a=\dfrac{E}{d}=ct$ . Συνεπώς το σταθερό τμήμα

φαίνεται από το

υπό σταθερή γωνία 60^0

και ο τόπος του

είναι ο γνωστός κύκλος .

#3

KDORTSI έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 2:19 pm Δίνεται ένα σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$ και μια ευθεία $\displaystyle{(e)}$ ώστε $\displaystyle{A\notin {(e)}}$ .
Ένα παραλληλόγραμο $\displaystyle{(ABCD)}$ κινείται ώστε η κορυφή του $\displaystyle{B}$ να διατρέχει
την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ , η γωνία $\displaystyle{ \widehat{A}=60^o}$ και ταυτόχρονα να διατηρεί το Εμβαδόν του που είνα ίσο με
μία τετραγωνική μονάδα.
Να βρεθεί ο γ.τόπος της κορυφής $\displaystyle{D}$ του παραλληλογράμμου αυτού.

Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος .png

Μία αντιμετώπιση με Αναλυτική. Έστω

η αρχή των αξόνων και y=a

η εξίσωση της ευθείας (e).

Θέτω

: Όμορφος γ. τόπος.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Είναι $\displaystyle \cos 60^\circ = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} }}{{(AD)(AB)}} \Leftrightarrow \frac{{bx + ay}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{2}$

Αλλά, $\displaystyle (ABCD) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2}} \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1,$ οπότε $\boxed{bx + ay = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}$

Εξάλλου, $\displaystyle (ABCD) = 2(ADB) = |\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&a\\ x&y \end{array}} \right|| \Leftrightarrow$ $\boxed{|by - ax| = 1}$

Με απαλοιφή του

κι επειδή

(γιατί;) καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {x^2} + {y^2} + \frac{x}{a} - \frac{{\sqrt 3 y}}{{3a}} = 0$

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο $\displaystyle K\left( { - \frac{1}{{2a}},\frac{{\sqrt 3 }}{{6a}}} \right)$ και ακτίνα $\displaystyle r = \frac{{\sqrt 3 }}{{3a}}.$

#4

KDORTSI έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 2:19 pm Δίνεται ένα σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$ και μια ευθεία $\displaystyle{(e)}$ ώστε $\displaystyle{A\notin {(e)}}$ .
Ένα παραλληλόγραμο $\displaystyle{(ABCD)}$ κινείται ώστε η κορυφή του $\displaystyle{B}$ να διατρέχει
την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ , η γωνία $\displaystyle{ \widehat{A}=60^o}$ και ταυτόχρονα να διατηρεί το Εμβαδόν του που είνα ίσο με
μία τετραγωνική μονάδα.
Να βρεθεί ο γ.τόπος της κορυφής $\displaystyle{D}$ του παραλληλογράμμου αυτού.

Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος .png

Μετά την λιτή και στοιχειώδη λύση του KARKAR

, καθώς και με την αναλυτική Γεωμετρία του, Γιώργου

ας δούμε και την αντίστοιχη αντιμετώπιση με αντιστροφή .

Ας είναι

μεταβλητή απόσταση του σταθερού

από την

και

σημείο στην ημιευθεία

με

. . Προφανώς : $AT \cdot AD = 1$ .

Έστω

η προβολή του

στην $\left( \varepsilon \right)$ . Φέρνω από το

παράλληλη στην $\left( \varepsilon \right)$ και πάνω σ αυτή σημείο

με

: Ένας ομορφος γεωμετρικός τόπος_new.png (32.47 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

Επειδή το

προέκυψε από τη στροφή , περί του

,του μεταβλητού σημείου

κατά $90^\circ$ ,ενώ το

κατά την περί του

, στροφή του σταθερού

πάλι με γωνία

$90^\circ$ , η

είναι σταθερή ευθεία, $\left( g \right)$ , με γωνία $\widehat {{S_{}}} = \widehat {BAT} = 60^\circ$ .

Θεωρώ τώρα την αντιστροφή της ευθείας $\left( g \right)$ με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής : ${k^2} = 1$ .

Έτσι προκύπτει κύκλος διερχόμενος από τον πόλο

και από τις εικόνες $D\,\,,\,\,F$ των T,S

σ αυτή την αντιστροφή .

Ο κύκλος αυτός είναι ο ζητούμενος Γεωμετρικός τόπος.

#5

Γιώργο, Θανάση και Νίκο ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.
Οι λύσεις σας καλύπτουν τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις και έτσι
πετυχαίνεται νομίζω για τον αναγνώστη μια καλύτερη θέα του αρχικού
ερωτήματος.
Για να πω την αλήθεια το θέμα το άντλησα από μια ανάρτηση του φίλου μου
του Σωκράτη Ρωμανίδη στο eisatopon όπου ένα video έδειχνε με όμορφο τρόπο
να γεμίζει ένας κύκλος από μια απειρία άλλων κύκλων εφαπτόμενων μεταξύ των
και οι οποίοι ήταν αντίστροφοι μιας ευθείας και άλλων κύκλων.
Στο προσκήνιο η αντιστροφή και η στροφή με ό,τι αυτό συνεπάγεται... Δρόμος πολύς ...

Όμως ο πολύς δρόμος είναι και όμορφος! Να σαν την Ιθάκη που γράφει Καβάφης:

"Σα βγεις στον πηγαιμό για την Ιθάκη,
να εύχεσαι να 'ναι μακρύς ο δρόμος,
γεμάτος περιπέτειες, γεμάτος γνώσεις

...............................................

Πάντα στον νου σου να 'χεις την Ιθάκη.
Το φθάσιμον εκεί είν' ο προορισμός σου.

...........................................

Αλλά μη βιάζεις το ταξίδι διόλου.
Καλύτερα χρόνια πολλά να διαρκέσει

........................................."

Να είστε καλά...

Από τα Γρεβενά

Κώστας Δόρτσιος

Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος

Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος

Re: Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος

Re: Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος

Re: Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος

Re: Ένας όμορφος γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση