'Ισα τμήματα σε τρίγωνο

#1

Σε τρίγωνο ABC

φέρνουμε τα δύο ημικύκλια με διαμέτρους $AB,\, AC$ , όπως στο σχήμα. Έστω ότι τέμουν τις πλευρές $AB, \, AC$ στα

και

, αντίστοιχα, και έστω ότι τέμνουν τα (ύψη) $BE,\, CD$ στα $G,\, F$ . Δείξτε ότι AF=AG

.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Μαρ 29, 2022 12:49 am Σε τρίγωνο φέρνουμε τα δύο ημικύκλια με διαμέτρους $AB,\, AC$ , όπως στο σχήμα. Έστω ότι τέμουν τις πλευρές $AB, \, AC$ στα και , αντίστοιχα, και έστω ότι τέμνουν τα (ύψη) $BE,\, CD$ στα $G,\, F$ . Δείξτε ότι .

.

: Ισα τμήματα σε τρίγωνο.png (47.24 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

.
Λίγο λιτά γιατί είναι και αργά . Αν μου ζητηθούν , αύριο λεπτομέρειες , τις δίδω.

$\left\{ \begin{gathered} A{G^2} = AE \cdot AC = AH \cdot AT \hfill \\ A{F^2} = AD \cdot AB = AH \cdot AT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AG = AF$ .

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Μαρ 29, 2022 12:49 am Σε τρίγωνο φέρνουμε τα δύο ημικύκλια με διαμέτρους $AB,\, AC$ , όπως στο σχήμα. Έστω ότι τέμουν τις πλευρές $AB, \, AC$ στα και , αντίστοιχα, και έστω ότι τέμνουν τα (ύψη) $BE,\, CD$ στα $G,\, F$ . Δείξτε ότι .

Ας είναι

το άλλο κοινό σημείο των ημικυκλίων διαμέτρων $\overline {AOB} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {AJC}$ .

Επειδή η διάκεντρος

είναι παράλληλη στην

και μεσοκάθετη στην

τα σημεία

ανήκουν σε μια ευθεία .

Ας είναι

το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Το $\vartriangle FAB$ είναι ορθογώνιο στο

και το τετράπλευρο DHTB

εγγράψιμο ,

: Ισα τμήματα σε τρίγωνο_new.png (34.22 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

οπότε από το Θ. Ευκλείδη στο τρίγωνο και τη δύναμη του

στο τετράπλευρο( αλλιώς με όμοια τρίγωνα) έχω:

${m^2} = A{F^2} = AD \cdot AB = AH \cdot AT\,\,\left( 1 \right)$ με όμοιο δε τρόπο , ${k^2} = A{G^2} = AE \cdot AC = AH \cdot AT\,\,\left( 2 \right)$ .

Άρα : k = m

.

Τα πιο πάνω μπορούν να διατυπωθούν με αντιστροφή ή με ριζικό κέντρο .

#4

Νομίζω ότι το

και το

δεν χρειάζονται για να γράψουμε τις παραπάνω λύσεις. Εξηγώ:
Από το θεώρημα προβολών στο ορθογώνιο τρίγωνο AFB

έχω $AF^2=AD\cdot AB$ .
Όμοια, έχω ότι $AG^2=AE\cdot AC$ . Όμως το τετράπλευρο DECB

είναι εγγράψιμο, άρα $AD\cdot AB=AE\cdot AC$ και τελειώσαμε.

#5

Τα ίδια και εδώ

'Ισα τμήματα σε τρίγωνο

'Ισα τμήματα σε τρίγωνο

Re: 'Ισα τμήματα σε τρίγωνο

Re: 'Ισα τμήματα σε τρίγωνο

Re: 'Ισα τμήματα σε τρίγωνο

Re: 'Ισα τμήματα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση