Ίσα γινόμενα 6

KARKAR · #1

: 'Ισα γινόμενα 5.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, με γνωστές τις γωνίες του σχήματος , δείξτε ότι :

Μεγάλη διαγώνιος επί μικρή πλευρά

Μικρή διαγώνιος επί μεγάλη πλευρά .

*( Προαιρετικό ) Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο ανόμοιο

προς το , το οποίο να έχει την ίδια ιδιότητα ;

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Πριν γράψω τα όσα σκέφτηκα, να ξεκαθαρίσω ότι η λύση μου ίσως να μην είναι η πιο απλή...
Θα χαρώ να δω κάτι απλούστερο...

$\displaystyle \left ( ACD \right )=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot sin30^{0}=$

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot AC\cdot AD.$

Έστω $\omega$ η αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοι.

Από την παλιά Τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι στο τρίγωνο ABC

ισχύει

$cot105^{0}-cot30^{0}=2cot\omega$

$-cot75^{0}-cot30^{0}=2cot\omega$

$-\left ( 2-\sqrt{3} \right )-\sqrt{3}=2cot\omega$

$cot\omega=-1$

$\omega=135^{0}$

Έτσι μπορώ να γράψω ότι $A\hat{B}D=30^{0}$

Συνεπώς

$\displaystyle\left ( ABD \right )=\frac{1}{2}\cdot BA\cdot BD\cdot sin30^{0}=\frac{1}{4}\cdot BA\cdot BD$

Αφού όμως $\left ( ABD \right )=\left ( ACD \right )$ ισχύει ότι

$AC\cdot AD=BD\cdot BA$

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 30, 2022 7:27 pm 'Ισα γινόμενα 5.pngΣτο παραλληλόγραμμο , με γνωστές τις γωνίες του σχήματος , δείξτε ότι :

Μεγάλη διαγώνιος επί μικρή πλευρά Μικρή διαγώνιος επί μεγάλη πλευρά .

*( Προαιρετικό ) Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο ανόμοιο

προς το , το οποίο να έχει την ίδια ιδιότητα ;

Γράφω πρώτα το μικρό κύκλο $\left( {A,C,D} \right)$ κι έστω

το κέντρο του .

Το τετράπλευρο KABD

είναι υπερισοσκελές τραπέζιο και άρα ο μεγάλος κύκλος $\left( {A,B,D} \right)$ θα διέρχεται από το

κι έστω

το κέντρο του .

: ισα γινόμενα 6.png (39.94 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

Ας είναι $r\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R$ αντίστοιχα οι ακτίνες τους . Δείτε ότι :

1. το $\vartriangle KAC$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο με $AC = r\sqrt 2$ και το $\vartriangle KCD$ ισόπλευρο πλευράς

.

2. Το $\vartriangle LBD$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο με $BD = R\sqrt 2$ και το $\vartriangle LDA$ είναι ισόπλευρο πλευράς

.

$AB \cdot BD = r\left( {R\sqrt 2 } \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC \cdot AC = AD \cdot AC = R\left( {r\sqrt 2 } \right)$ , άρα : $AB \cdot BD = BC \cdot AC$ .

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 30, 2022 7:27 pm 'Ισα γινόμενα 5.pngΣτο παραλληλόγραμμο , με γνωστές τις γωνίες του σχήματος , δείξτε ότι :

Μεγάλη διαγώνιος επί μικρή πλευρά Μικρή διαγώνιος επί μεγάλη πλευρά .

*( Προαιρετικό ) Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο ανόμοιο

προς το , το οποίο να έχει την ίδια ιδιότητα ;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος θα δείξω ότι bm=an.

Φέρνω το ύψος

του παραλληλογράμμου.

: Ίσα γινόμενα 6.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Είναι $\displaystyle \frac{n}{2} = AE = \frac{{b\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{n = b\sqrt 2}$ (1)

Αλλά ως γνωστόν, $\displaystyle {m^2} + {n^2} = 2{a^2} + 2{b^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} m = a\sqrt 2,$ άρα $\boxed{bm = ba\sqrt 2 = an}$

#5

Για το προαιρετικό, υπάρχουν άπειρα παραλληλόγραμμα που ικανοποιούν τη σχέση των ίσων γινομένων.

: Ίσα γινόμενα 6β.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Κατασκευάζω τρίγωνο BCD

με $BC=a, BD=a\sqrt 2$ και οποιαδήποτε γωνία $C\widehat BD.$ Οι παράλληλες

από τα B, D

στις

αντίστοιχα, ορίζουν την τέταρτη κορυφή

ενός τέτοιου παραλληλογράμμου.

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 30, 2022 7:27 pm 'Ισα γινόμενα 5.pngΣτο παραλληλόγραμμο , με γνωστές τις γωνίες του σχήματος , δείξτε ότι :

Μεγάλη διαγώνιος επί μικρή πλευρά Μικρή διαγώνιος επί μεγάλη πλευρά .

*( Προαιρετικό ) Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο ανόμοιο

προς το , το οποίο να έχει την ίδια ιδιότητα ;

$\hat{SAO}=30^{0},SOK\perp AC,KC//AS$ Το τετράπλευρο AKCS

είναι ρόμβος

.Εστω $y=OS=OK,A\Pi \perp BC,$ Στο τρίγωνο $ACB,\dfrac{2AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{2b}{1} \Leftrightarrow AC=b\sqrt{2},(*), A\Pi S,4y^{2}=y^{2}+\dfrac{b^{2}}{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{b\sqrt{6}}{3}$ ,

Εφόσον $AS=2y,\Pi S=y,AO=y\sqrt{3},$ στο τρίγωνο ABD

απο το θεώρημα των διαμέσων

$b^{2}+a^{2}=2AO^{2}+\dfrac{BD^{2}}{2}\Leftrightarrow DB=a\sqrt{2},(**), (*),(**)\Rightarrow \dfrac{DB}{AC}=\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow a.AC=b.DB$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 30, 2022 7:27 pm 'Ισα γινόμενα 5.pngΣτο παραλληλόγραμμο , με γνωστές τις γωνίες του σχήματος , δείξτε ότι :

Μεγάλη διαγώνιος επί μικρή πλευρά Μικρή διαγώνιος επί μεγάλη πλευρά .

*( Προαιρετικό ) Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο ανόμοιο

προς το , το οποίο να έχει την ίδια ιδιότητα ;

Με $BZ \bot BC \Rightarrow DO=OB=BZ= \dfrac{b \sqrt{2} }{2}$ και προφανώς b^2=DO.DB

άρα $\angle \theta =30^0$

$(DAC)=(BDA) \Rightarrow DA.AC sin 30^0=DB.BAsin30^0 \Rightarrow DA.AC=DB.BA$

: ίσα γινόμενα.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Ίσα γινόμενα 6

Ίσα γινόμενα 6

Re: Ίσα γινόμενα 6

Re: Ίσα γινόμενα 6

Re: Ίσα γινόμενα 6

Re: Ίσα γινόμενα 6

Re: Ίσα γινόμενα 6

Re: Ίσα γινόμενα 6

Μέλη σε σύνδεση