Λόγος αποστάσεων

KARKAR · #1

: Λόγος αποστάσεων.png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Στις πλευρές AD , DC , CB

, του τετραγώνου ABCD

, θεωρούμε σημεία E , G , F

αντίστοιχα , ώστε : AE=GC=CF

. Έστω

το σημείο τομής των AF , BE

.

Υπολογίστε τον λόγο των αποστάσεων : $\dfrac{TP}{GS}$ , ( των σημείων T , G

από την

) .

Χρόνια πολλά !

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 25, 2022 7:37 am Λόγος αποστάσεων.pngΣτις πλευρές , του τετραγώνου , θεωρούμε σημεία

αντίστοιχα , ώστε : . Έστω το σημείο τομής των .

Υπολογίστε τον λόγο των αποστάσεων : $\dfrac{TP}{GS}$ , ( των σημείων από την ) .

Χρόνια πολλά !

Ας είναι $A\left( {0,0} \right)\,\,,\,\,B\left( {1,0} \right)\,\,,\,\,C\left( {1,1} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {0,1} \right)$ . Έστω δε το μεταβλητό $E\left( {0,k} \right)\,\,,\,\,0 < k < 1$ .

Θα είναι έτσι : $T:\,\,\left\{ \begin{gathered} x + \frac{y}{k} = 1 \hfill \\ y = \left( {1 - k} \right)x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow T\left( {k, - {k^2}} \right)$ , ενώ η ευθεία $EF \to \left( {2k - 1} \right)x + y - k = 0$ .

: Λόγος αποστάσεων_1.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Οι αποστάσεις των $T\,\,,\,\,G$ απ’ αυτή είναι : $\left\{ \begin{gathered} TP = \frac{{\left| {\left( {2k - 1} \right)k + k - {k^2} - k} \right|}}{{\sqrt \theta }} = \frac{{\left| {{k^2} - k} \right|}}{{\sqrt \theta }} \hfill \\ GS = \frac{{\left| {2k - 2{k^2}} \right|}}{{\sqrt \theta }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Με, $\theta = {\left( {2k - 1} \right)^2} + 1 > 0$ .

Προφανώς $\boxed{\frac{{TP}}{{GS}} = \frac{1}{2}}$

Και μια με Ευκλείδεια Γεωμετρία .

: Λόγος αποστάσεων.png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Φέρνω κάθετη από το

στην

, που την τέμνει στο

και την

στο

.

Είναι γνωστό ότι TZ = TL

κι αυτό γιατί : $\dfrac{{TZ}}{{EA}} = \dfrac{{BT}}{{BE}} = \dfrac{{FT}}{{FA}} = \dfrac{{LT}}{{EA}}$ .

Επειδή τα τρίγωνα $DEG\,\,,\,\,GCF$ είναι ισοσκελή ορθογώνια , θα είναι $GE \bot GF$ .

Αλλά CF = //EA

και έτσι η ευθεία

είναι ,ένας από τους πολλούς, άξονες συμμετρίας του τετραγώνου ABCD

.

Τώρα το τετράπλευρο GFZE

είναι ορθογώνιο και έτσι GS = ZH = 2TP

( στο $\vartriangle HZL$ , TP//ZH

και το

μέσο του

).

Αφού λοιπόν $GS = 2TP \Leftrightarrow \boxed{\frac{{TP}}{{GS}} = \frac{1}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 25, 2022 7:37 am Λόγος αποστάσεων.pngΣτις πλευρές , του τετραγώνου , θεωρούμε σημεία

αντίστοιχα , ώστε : . Έστω το σημείο τομής των .

Υπολογίστε τον λόγο των αποστάσεων : $\dfrac{TP}{GS}$ , ( των σημείων από την ) .

Χρόνια πολλά !

Χρόνια πολλά..

Είναι $\dfrac{EN}{NC}= \dfrac{x}{a-x}= \dfrac{DG}{GC} \Rightarrow GN//ED \Rightarrow (DNC)=(GEC)$

Το ENFT

είναι παραλληλόγραμμο και τα EDCF,EFBA

είναι τραπέζια

Άρα $(ETF)=(ENF)=(DNC)=(GEC)= \dfrac{x(a-x)}{2}$

$(EGF)= \dfrac{EG.GF}{2}=\dfrac{x \sqrt{2} (a-x) \sqrt{2} }{2}=x(a-x)=2(EGC)=2(ETF)$

Άρα $\dfrac{(EGF)}{(ETF)}=2= \dfrac{GS}{TP}$

: λόγος αποστάσεων.png (36.95 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Λόγος αποστάσεων

Λόγος αποστάσεων

Re: Λόγος αποστάσεων

Re: Λόγος αποστάσεων

Μέλη σε σύνδεση