Νέος μέσος

KARKAR · #1

: Νέος μέσος.png (10.28 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

Σε τραπέζιο ABCD

με βάσεις : AD=a , BC= b , (a>b)

, να φέρετε τμήμα

παράλληλο προς

τις βάσεις , έτσι ώστε το τμήμα

, το μεταξύ των διαγωνίων , να ισούται μα τη διαφορά των δύο βάσεων .

Υπολογίστε το τμήμα αυτό και συγκρίνατέ το με τον αριθμητικό μέσο των βάσεων .

Προαιρετικό σε άλλη ύλη : Αν οι βάσεις είναι ακέραιες , υπάρχει περίπτωση να είναι και το ακέραιο ;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 02, 2023 1:16 pm Νέος μέσος.pngΣε τραπέζιο με βάσεις : , να φέρετε τμήμα παράλληλο προς

τις βάσεις , έτσι ώστε το τμήμα , το μεταξύ των διαγωνίων , να ισούται μα τη διαφορά των δύο βάσεων .

Υπολογίστε το τμήμα αυτό και συγκρίνατέ το με τον αριθμητικό μέσο των βάσεων .

Προαιρετικό σε άλλη ύλη : Αν οι βάσεις είναι ακέραιες , υπάρχει περίπτωση να είναι και το ακέραιο ;

Είναι γνωστό ότι AQ = TP

. Ας είναι λοιπόν , SP = 2k + y

όπου

.

Επειδή , $\dfrac{{SP - b}}{{a - SP}} = \dfrac{{BS}}{{SA}}$ . Αν τώρα επιλέξω , $\dfrac{{BS}}{{SA}} = \dfrac{a}{b}$ θα προκύψει : $SP = x = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Όμως $\dfrac{{SQ}}{{BC}} = \dfrac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{k}{b} = \dfrac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{k}{{b - k}} = \dfrac{{SA}}{{SB}} \Rightarrow \dfrac{{b - k}}{b} = \dfrac{{SB}}{{SA}} = \dfrac{a}{b}$ , οπότε: $k = \dfrac{{{b^2}}}{{a + b}}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

: Νέος μέσος.png (12.8 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Επειδή όμως , y + 2k = SP

και λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \left( 2 \right)$ προκύπτει: $\boxed{y = a - b}$ .

Δηλαδή χωρίζω μια μη παράλληλη πλευρά ( π.χ. την

) σε λόγο , $\dfrac{{BS}}{{SA}} = \dfrac{a}{b} > 1$ .

Προφανώς η διάμεσος του τραπεζίου θα είναι μικρότερη του

#3

Για την κατασκευή.

: Νέος μέσος.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Αν

είναι τα μέσα των διαγωνίων και

το σημείο τομής τους, αρκεί να πάρουμε τα συμμετρικά Q, T

του

ως προς

αντίστοιχα. Η

τέμνει τις AB, CD

στα

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Για το προαιρετικό η απάντηση είναι ΝΑΙ. Για παράδειγμα, αν a=6, b=3

τότε

Γενικότερα, αν $\displaystyle (a,b) = \left( {{k^2} + k,k + 1} \right),k =2,3,4,...,$ τότε SP=k^2+1.

Μπορεί να υπάρχει και άλλος τύπος που να δίνει τέτοιες τριάδες ακεραίων $\displaystyle \left( {a,b,\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}}} \right)$ .

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 02, 2023 1:16 pm Νέος μέσος.pngΣε τραπέζιο με βάσεις : , να φέρετε τμήμα παράλληλο προς

τις βάσεις , έτσι ώστε το τμήμα , το μεταξύ των διαγωνίων , να ισούται μα τη διαφορά των δύο βάσεων .

Υπολογίστε το τμήμα αυτό και συγκρίνατέ το με τον αριθμητικό μέσο των βάσεων .

Προαιρετικό σε άλλη ύλη : Αν οι βάσεις είναι ακέραιες , υπάρχει περίπτωση να είναι και το ακέραιο ;

Για τη κατασκευή

Στο τραπέζιο ABCD

γράφω την

Αρα

Αν $MQ//BD,QT//MD\Rightarrow QT=a-b$

Νέος μέσος

Νέος μέσος

Re: Νέος μέσος

Re: Νέος μέσος

Re: Νέος μέσος

Μέλη σε σύνδεση