Η άγνωστη ακτίνα

KARKAR · #1

: Άγνωστη ακτίνα.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 1879 φορές

Υπολογίστε την ακτίνα του ημικυκλίου διαμέτρου AOB

, αξιοποιώντας τα αναγραφόμενα εμβαδά στο σχήμα .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 31, 2025 1:35 pm Άγνωστη ακτίνα.pngΥπολογίστε την ακτίνα του ημικυκλίου διαμέτρου , αξιοποιώντας τα αναγραφόμενα εμβαδά στο σχήμα .

.
Θέτουμε $\displaystyle{OA=OB=a, \,AS=b ,\, OQ=x, \, BS=y}$ . Από τα εμβαδά έχουμε $\dfrac {1}{2} ax=5, \dfrac {1}{2} by=5+13$ και από την ομοιότητα των τριγώνων $OAQ, \, ABS$ έχουμε $\dfrac {a}{x}= \dfrac {b}{y}$ .

Λύνοντας συναρτήσει του

τις τρεις εξισώσεις, θα βρούμε $x= \dfrac {10}{a}, \, y=\dfrac {6\sqrt {10}}{a}, \, b=\dfrac {3\sqrt {10}a}{5}$ .

Τώρα από το Πυθαγόρειο στο ABS

έχουμε

. Άρα

$4a^2= \left ( \dfrac {3\sqrt {10}a}{5} \right ) ^2+ \left ( \dfrac {6\sqrt {10}}{a}\right ) ^2$ .

Οπότε $\boxed {a=\sqrt {30}}$
.

Nikitas K. · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Μάιος 31, 2025 4:30 pm .
Θέτουμε $\displaystyle{OA=OB=a, \,AS=b ,\, OQ=x, \, BS=y}$ . Από τα εμβαδά έχουμε $\dfrac {1}{2} ax=5, \dfrac {1}{2} by=5+13$ και από την ομοιότητα των τριγώνων $OAQ, \, ABS$ έχουμε $\dfrac {a}{x}= \dfrac {b}{y}$ .

Λύνοντας συναρτήσει του τις τρεις εξισώσεις, θα βρούμε $x= \dfrac {10}{a}, \, y=\dfrac {6\sqrt {10}}{a}, \, b=\dfrac {3\sqrt {10}a}{5}$ .

Τώρα από το Πυθαγόρειο στο έχουμε . Άρα

$4a^2= \left ( \dfrac {3\sqrt {10}a}{5} \right ) ^2+ \left ( \dfrac {6\sqrt {10}}{a}\right ) ^2$ .

Οπότε $\boxed {a=\sqrt {30}}$
.

Το σχήμα είναι παραπλανητικό.
Δηλαδή τα A,Q,S

δεν είναι συνευθειακά.

KARKAR · #4

Νικήτα , σκεφτόμουν να αναφέρω ότι τα A , Q , S

είναι συνευθειακά και ίσως θα έπρεπε .

Πάντως είναι συνευθειακά και η λύση είναι σωστή .

#5

Αν τα σημεία δεν είναι συνευθειακά τότε το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις (είναι απροσδιόριστο) και μάλιστα (λόγω συνεχείας, όπως θα δούμε) έχει λύσεις ολόκληρο διάστημα τιμών της ακτίνας.

Πράγματι, κουνάμε λίγο την ακτίνα από

σε μία λίγο μικρότερη ακτίνα OA'

. Τώρα κουνώντας λίγο προς τα πάνω το

κατά συνεχή τρόπο, υπάρχει κάποια θέση

που το εμβαδόν του τριγώνου OA' Q'

είναι

, όπως πριν. Τώρα κουνάμε λίγο το

επί του κόκκινου ημικυκλίου, αλλά προς τα πάνω, σε κάποια θέση που το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι

, όπως πριν. Δηλαδή το νέο σχήμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος, πλην συνευθειακότητας. Έχει όμως άπειρες λύσεις: όλες τις θέσεις του

, τουλάχιστον κοντά στην παλιά του θέση.

Οπότε η συνθήκη συνευθειακότητας είναι απαραίτητη, με τα συμφραζόμενα.
.

#6

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 31, 2025 1:35 pm Άγνωστη ακτίνα.pngΥπολογίστε την ακτίνα του ημικυκλίου διαμέτρου , αξιοποιώντας τα αναγραφόμενα εμβαδά στο σχήμα .

Ας είναι η ακτίνα $OA = OB = a\,\,,\,\,OQ = x\,\,,\,\,BS = y$ .

Επειδή $\,\vartriangle OAQ\,\,\, \approx \,\,\vartriangle SAB\,\,$ , με λόγο ομοιότητας , $\lambda = \dfrac{x}{y}$ θα είναι : $\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{{18}}\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά , $\dfrac{x}{y} = \dfrac{{OA}}{{AS}} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} - {y^2}}}\,\,\left( 2 \right)$ .

: Άγνωστη ακτίνα_1.png (12.87 KiB) Προβλήθηκε 1787 φορές

Η προηγούμενη λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει : ${y^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{5}\,\,\left( 3 \right)$ . Επειδή , $ax = 10 \Rightarrow x = \dfrac{{10}}{a}$ κι έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει :

$\dfrac{{\dfrac{{100}}{{{a^2}}}}}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{{18}} \Leftrightarrow 5{a^2}{y^2} = 1800$ και λόγω της $\left( 3 \right)$ δίδει: $5{a^2}\dfrac{2}{5}{a^2} = 1800 \Rightarrow {a^4} = 900 \Rightarrow \boxed{a = \sqrt {30} }$

Nikitas K. · #7

Αν τα σημεία A,Q

και

είναι συνευθειακά με (OAQ) = a,(OQSB) = b

και

, τότε άλλη μία λύση είναι η παρακάτω:

Τα ορθογώνια τρίγωνα OAQ

και

είναι ίσα, διότι έχουν κοινή την πλευρά

και ίσες τις ομόλογες κάθετες πλευρές τους

και

ως ακτίνες του ημικυκλίου. Επομένως:

$\fbox{QB = AQ}$ $\color{blue}(0)$ και

$\fbox{(OBQ) = \displaystyle{a}}$ $\color{blue}(1)$

Πράγματι:
$\dfrac{AQ}{QS} + 1= \dfrac{AQ}{QS} = \dfrac{AQ+QS}{QS} =\dfrac{AS}{QS} = \dfrac{\dfrac{AS \cdot SB}{2}}{\dfrac{QS \cdot SB}{2}} = \dfrac{(ASB)}{(QSB)}= \dfrac{a + b}{b-(OBQ)}\overset{ {\color{blue}(1)} }{=} \dfrac{b+a}{b-a}$

$\Leftrightarrow \fbox {QS = \dfrac{b-a}{2a} AQ}~\color{blue}(2)$

Ισχύει:
$\dfrac{OQ \cdot r}{2} = a \Leftrightarrow \fbox{OQ = \dfrac{2a}{r}}$ $\color{blue} (3)$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα των τριγώνων OAQ, QSB

και

προκύπτει:

$\fbox{AQ \overset{{\color{blue}{(3)}}}{=} \sqrt{r^2 + \dfrac{4a^2}{r^2}}}$ $\color{blue} (4)$ ,

$\fbox{QS^2 + SB^2 \overset{{\color{blue}{(0)}}}{=} AQ^2}$ $\color{blue} (5)$ και

$AS^2 + SB^2 = 4r^2\overset{AS=AQ+QS}\Leftrightarrow AQ^2 + 2 AQ \cdot QS + QS^2 + SB^2 = 4r^2\overset{{\color{blue}{(2)}}}{\underset{{\color{blue}{(5)}}}{\Leftrightarrow}} AQ^2\left(1 + \dfrac{b}{a}\right) = 4r^2$

$\overset{\color{blue}{(4)}\color{black}}\Leftrightarrow \fbox{r = \sqrt{2a} \sqrt[4] {\dfrac{a+b}{3a-b}} }$ μόνο αν $3a>b~\blacksquare$

: Η άγνωστη ακτίνα.png (37.08 KiB) Προβλήθηκε 1778 φορές

Nikitas K. · #8

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 31, 2025 5:39 pm Νικήτα , σκεφτόμουν να αναφέρω ότι τα είναι συνευθειακά και ίσως θα έπρεπε .

Πάντως είναι συνευθειακά και η λύση είναι σωστή .

Παρατήρησα ότι ενώ στο σχήμα σας συμβολίσατε $\angle QOB = 1L$ δεν είχατε συμβολίσει $\angle QSB = 1L$ .

Αρχικά ασχολήθηκα με την ειδική περίπτωση της λύσης να έχω δεδομένο ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, και σ' αυτήν την περίπτωση είχα κάνει λάθος κάποια αλγεβρική (ή αριθμητική) πράξη, απορρίπτοντας την ακτίνα $\sqrt{30}$ στο στάδιο της επαλήθευσης... Καταλήγοντας στο λάθος συμπέρασμα πως απαγορεύεται τα σημεία να είναι συνευθειακά... Μετά εμφάνισα τις τιμές στο παρακάτω σχήμα που εργαζόμουν και αυτές φαινομενικά ενίσχυαν το λάθος συμπέρασμα...

: Η άγνωστη ακτίνα μη συνευθειακά σημεία..png (53.1 KiB) Προβλήθηκε 1767 φορές

Ιστοσελίδα · #9

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 31, 2025 1:35 pm Υπολογίστε την ακτίνα του ημικυκλίου διαμέτρου , αξιοποιώντας τα αναγραφόμενα εμβαδά στο σχήμα .

: shape.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 1726 φορές

Η άγνωστη ακτίνα

Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Re: Η άγνωστη ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση