Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε:Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και το ύψος $\displaystyle{AD}$ . Αν $\displaystyle{I,\,\,{{I}_{1}}\,\,{{I}_{2}}}$ είναι τα έκκεντρα των τριγώνων $\displaystyle{ABC,\,\,ABD,\,\,ACD}$ και $\displaystyle{{I}'}$ η προβολή του $\displaystyle{I}$ στην ευθεία $\displaystyle{BC}$ , τότε το τρίγωνο $\displaystyle{{I}'\,{{I}_{1}}{{I}_{2}}}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

: 1.png (21.1 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Ας είναι $\displaystyle{ I'_1 ,I'_2 }$ οι ορθές προβολές των $\displaystyle{ I_1 ,I_2 }$ στην $\displaystyle{ BC }$ αντίστοιχα και ας είναι (χωρίς βλάβη της γενικότητας) $\displaystyle{ AB < AC }$ οπότε η διάταξη

των σημείων $\displaystyle{ B,I'_1 ,D,I',I'_2 ,C }$ είναι όπως φαίνεται στο σχήμα μας.

Τότε $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} I'C = \frac{{AB + BC + CA}} {2} - AB \hfill \\ I'_2 C = \frac{{AD + DC + CA}} {2} - AD \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( - \right)} \ldots I'C - I'_2 C = \frac{{AD + BC - DC - AB}} {2}\mathop \Rightarrow \limits^{I'C - I'_2 C = I'I'_2 ,\,\,BC - DC = BD} }$ $\displaystyle{ \boxed{I'I'_2 = \frac{{AD + BD - AB}} {2}}:\left( 1 \right) }$ και $\displaystyle{ I'_2 D = \frac{{AD + BD + AB}} {2} - AB \Rightarrow \boxed{I'_2 D = \frac{{AD + BD - AB}} {2}}:\left( 2 \right) }$

Από $\displaystyle{ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \boxed{I'I'_2 = DI'_1 }:\left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{ + DI'} DI'_2 = I'I'_1 \mathop \Rightarrow \limits^{\left( {\vartriangle I_1 I'_1 D,\vartriangle I_2 I'_2 D\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \eta } \right) \Rightarrow DI'_2 = I_2 I'_2 ,\,\,I'I'_1 = DI'_1 = I'I'_2 } }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} II'_1 = I'I'_2 \hfill \\ I'I'_1 = I_2 I'_2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{I'I'_1 I_1 } = \widehat{I'I'_2 I_2 } = 90^0 } \vartriangle I'I'_1 I_1 = \vartriangle I'I'_2 I_2 \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} I'I_1 = I'I_2 \\ \widehat{I_1 I'I'_1 } = \widehat{I'I_2 I'_2 }\mathop \Rightarrow \limits^{I'I'_1 \bot I_2 I'_2 } I'I_1 \bot I'I_2 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \vartriangle I_1 II_2 }$ ορθογώνιο ισοσκελές και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Θα μπορούσε να δείξει "κάποιος" (μάλλον γωνιακά) ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{ I_1 DI'I_2 }$ είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται άμεσα. Θα το "ψάξουμε" μετά τον "καφέ"

Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση