Από λόγο σε λόγο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλησπέρα σε όλους.
Υποβάλλω τροποποιημένο το δεύτερο θέμα που θέσαμε στον τοπικό διαγωνισμό (ΜΠΑΡΜΠΑΣΤΑΘΕΙΑ , Άρτα 25-11-2016 ).
Δεν θέτω εδώ τα ενδιάμεσα ερωτήματα για να φτάσουμε στο ζητούμενο από διάφορες διαδρομές .

: Από λόγο σε λόγο.PNG (4.85 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Στο τρίγωνο ABC

με $\widehat{A}=90^{0}$ , το

είναι μέσον της

και ισχύει $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}$ .

Θεωρούμε το σημείο

της

ώστε $\widehat{ADE}=\widehat{CBD}$ .

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BED \right )}{\left ( BAC \right )}$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα!

Φέρουμε την $DK \perp BC$ , και AB=x, AC=2x

.

Από τα προφανώς όμοια KDC, BAC

παίρνουμε

$KD=\dfrac{x\sqrt{5}}{5}, \,\, BK=\dfrac{3x\sqrt{5}}{5}$ .

Τα τρίγωνα DAE, BKD

είναι όμοια διότι έχουν τις γωνίες $\varphi$ ίσες και είναι ορθογώνια.

Άρα, $\dfrac{EA}{KD}=\dfrac{AD}{BK} \Leftrightarrow EA=\dfrac{x\sqrt{5}}{3}$ .

Τελικά, $BE=\dfrac{2x}{3}$ .

Έτσι, $\dfrac{(BED)}{(BAC)}=\dfrac{\dfrac{x^2}{3}}{x^2}=\dfrac{1}{3}$ .

Συνεπώς, $\boxed{\dfrac{(BED)}{(BAC)}=\dfrac{1}{3}}$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.
Υποβάλλω τροποποιημένο το δεύτερο θέμα που θέσαμε στον τοπικό διαγωνισμό (ΜΠΑΡΜΠΑΣΤΑΘΕΙΑ , Άρτα 25-11-2016 ).
Δεν θέτω εδώ τα ενδιάμεσα ερωτήματα για να φτάσουμε στο ζητούμενο από διάφορες διαδρομές .
Από λόγο σε λόγο.PNG
Στο τρίγωνο με $\widehat{A}=90^{0}$ , το είναι μέσον της και ισχύει $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}$ .

Θεωρούμε το σημείο της ώστε $\widehat{ADE}=\widehat{CBD}$ .

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BED \right )}{\left ( BAC \right )}$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Γιώργο και Ορέστη, Καλησπέρα!

Μία τριγωνομετρική λύση.

: Από λόγο σε λόγο.png (8 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

$\displaystyle{\frac{{(BED)}}{{(BAC)}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{BE \cdot AD}} = \frac{{BE \cdot c}}{{2{c^2}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{(BED)}}{{(BAC)}} = \frac{{BE}}{{2c}}}$ (1)

$\displaystyle{\tan B = 2 \Leftrightarrow \tan (\omega + {45^0}) = 2 \Leftrightarrow \frac{{1 + \tan \omega }}{{1 - \tan \omega }} = 2 \Leftrightarrow \tan \omega = \frac{1}{3} \Leftrightarrow EA = \frac{c}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{BE = \frac{{2c}}{3}}$ (2)

Από

έχουμε: $\boxed{\frac{{(BED)}}{{(BAC)}} = \frac{1}{3}}$

Από λόγο σε λόγο

Από λόγο σε λόγο

Re: Από λόγο σε λόγο

Re: Από λόγο σε λόγο

Μέλη σε σύνδεση