Ισότητα τμημάτων 3

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17941
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα τμημάτων 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Ισότητα τμημάτων 3.png
Ισότητα τμημάτων 3.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 1393 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , η AOS είναι διάμετρος του περικύκλου του . Φέρω : AD \perp BC

και SE \perp BC . Δείξτε ότι : BD=CE . Στόχος : Πολλές ( διαφορετικές ) λύσεις !
Ετικέτες:
διάμετρος
κύκλος
Κορυφή
Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Re: Ισότητα τμημάτων 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. »

Καλημέρα κ. Θανάση. Δύο προσεγγίσεις:

1η: Αν M το μέσο της BC, τότε AD\parallel OM \parallel ES. Όμως το O είναι το μέσο της AS,

άρα το M είναι το μέσο της DE. Επομένως BD = CE.

2η: Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\triangle ADB \sim \triangle ACS \implies \frac{BD}{CS} = \frac{AD}{AC}}. Επίσης \displaystyle{\angle DAC = \angle BAS = \angle ECS \implies }

\displaystyle{\triangle ADC \sim \triangle CES \implies \frac{AD}{AC} = \frac{CE}{CS} }. Συνεπώς \displaystyle{ \frac{BD}{CS} = \frac{CE}{CS} \implies BD = CE }.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15064
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα τμημάτων 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

KARKAR έγραψε:Ισότητα τμημάτων 3.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , η AOS είναι διάμετρος του περικύκλου του . Φέρω : AD \perp BC

και SE \perp BC . Δείξτε ότι : BD=CE . Στόχος : Πολλές ( διαφορετικές ) λύσεις !
Ισότητα τμημάτων 3.png
Ισότητα τμημάτων 3.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 1364 φορές
\displaystyle{B\widehat AP = S\widehat AC = {90^0} - \widehat B \Leftrightarrow BP = SC}, το BPSC είναι ισοσκελές τραπέζιο και το ζητούμενο έπεται.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5545
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισότητα τμημάτων 3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος »

KARKAR έγραψε: Στόχος : Πολλές ( διαφορετικές ) λύσεις !
Καλημέρα σε όλους! Μια από τις διαφορετικές λύσεις:
22-01-2017 Γεωμετρία.jpg
22-01-2017 Γεωμετρία.jpg (23.21 KiB) Προβλήθηκε 1343 φορές
Τοποθετούμε στο O ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ώστε BC// xx', με B(-d, c), C(d, c), αφού ο yy' είναι μεσοκάθετος του BC.

Έστω A(a, b) οπότε S(-a-b). Τότε D(a, c), E(-a, c),

άρα \displaystyle BD = \left| {a - \left( { - d} \right)} \right| = \left| {a + d} \right|,\;\;EC = \left| {d - \left( { - a} \right)} \right| = \left| {a + d} \right| άρα είναι ίσα.
Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα τμημάτων 3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης »

KARKAR έγραψε:Ισότητα τμημάτων 3.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , η AOS είναι διάμετρος του περικύκλου του . Φέρω : AD \perp BC

και SE \perp BC . Δείξτε ότι : BD=CE . Στόχος : Πολλές ( διαφορετικές ) λύσεις !
Καλημέρα....

Με \displaystyle{BH//CS} κι επειδή \displaystyle{CS \bot AC \Rightarrow BH \bot AC \Rightarrow H}

ορθόκεντρο του \displaystyle{\vartriangle ABC \Rightarrow CH \bot AB \Rightarrow CH//BS \Rightarrow HCSB} παραλ/μμο\displaystyle{ \Rightarrow BH = CS}

Τα τρίγωνα λοιπόν \displaystyle{BHD,ECS} είναι ίσα οπότε \displaystyle{\boxed{BD = EC}}
IT.png
IT.png (22.48 KiB) Προβλήθηκε 1342 φορές
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ισότητα τμημάτων 3

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ »

KARKAR έγραψε:Ισότητα τμημάτων 3.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , η AOS είναι διάμετρος του περικύκλου του . Φέρω : AD \perp BC

και SE \perp BC . Δείξτε ότι : BD=CE . Στόχος : Πολλές ( διαφορετικές ) λύσεις !
Τα τμήματα BC ,DE έχουν κοινό μέσο την ορθή προβολή του O από απόστημα και το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαφωνιών τραπεζιού και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Υ.Σ . Δεν έγραψα τίποτα νέο. Βλέπω ότι ειναι η πρώτη αντιμετώπιση του Γρήγορη πιο πανω :oops:. Αυτά παθαίνεις όταν δεν διαβάζεις τις σκέψεις όλων των άλλων
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
nikkru
Δημοσιεύσεις: 348
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ισότητα τμημάτων 3

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru »

KARKAR έγραψε:Ισότητα τμημάτων 3.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , η AOS είναι διάμετρος του περικύκλου του . Φέρω : AD \perp BC

και SE \perp BC . Δείξτε ότι : BD=CE . Στόχος : Πολλές ( διαφορετικές ) λύσεις !
Ισότητα τμημάτων 3.png
Ισότητα τμημάτων 3.png (7.55 KiB) Προβλήθηκε 1335 φορές
\widehat{SKA}=90^o (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο) οπότε AKED ορθογώνιο με αποτέλεσμα AK//BC και τόξα AB,KC ίσα.

Τότε όμως \triangle ADB=\triangle KEC αφού είναι ορθογώνια με AD=KE και \widehat{ABD}=\widehat{KCE}

(εγγεγραμμένες στα ίσα τόξα KAB,AKC) από όπου έπεται το ζητούμενο.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3773
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μιχάλης Νάννος

Re: Ισότητα τμημάτων 3

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος »

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , η AOS είναι διάμετρος του περικύκλου του . Φέρω : AD \perp BC

και SE \perp BC . Δείξτε ότι : BD=CE . Στόχος : Πολλές ( διαφορετικές ) λύσεις !
Καλημέρα. Η λύση του φίλου Γιώργου αλλιώς γαρνιρισμένη!
Ισότητα-τμημάτων-3.png
Ισότητα-τμημάτων-3.png (27.63 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές
B\widehat AD = S\widehat AC σαν συμπληρωματικές ίσων γωνιών, συνεπώς BT = SC

DT = ES από το ορθογώνιο DEST

Από \triangleleft BDT = \triangleleft CES \Rightarrow BD = CE
«Δε θα αντικαταστήσει η Τεχνητή Νοημοσύνη τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει να αξιοποιήσει την Τεχνητή Νοημοσύνη...»
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες