Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

#1

Στη πλευρά

ορθογωνίου τριγώνου $BMA,\,\, \measuredangle M=90^o,$ υπάρχει σημείο

τέτοιο, ώστε:

$\measuredangle BAK=30^o,\,\,\,\dfrac{KD}{AB}=\dfrac{KM}{2AM},$

όπου

η προβολή του

στην υποτείνουσα AB.

Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου BMA.

S.E.Louridas · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #3

Το τρίγωνο $\vartriangle AKD$ έχει $\widehat{KAD}=30^\circ$ , και είναι ορθογώνιο, οπότε AK=2KD

.

Έχουμε $\dfrac{KD}{AB}=\dfrac{KM}{2AM}$ και αφού AK=2KD

, είναι $\dfrac{AK}{KM}=\dfrac{AB}{AM}$ (1).

Αν $\widehat{B}=\phi$ , είναι $\sin(60^\circ-\phi)=\dfrac{AK}{KM}=\dfrac{AB}{AM}=\sin \phi \Rightarrow \phi=60-\phi \Rightarrow \boxed{\widehat{B}=30^\circ,\widehat{C}=60^\circ}$ .

#4

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Κυρ Σεπ 24, 2017 3:52 pm Το τρίγωνο $\vartriangle AKD$ έχει $\widehat{KAD}=30^\circ$ , και είναι ορθογώνιο, οπότε .

Έχουμε $\dfrac{KD}{AB}=\dfrac{KM}{2AM}$ και αφού , είναι $\dfrac{AK}{KM}=\dfrac{AB}{AM}$ (1).

Αν $\widehat{B}=\phi$ , είναι $\sin(60^\circ-\phi)=\dfrac{AK}{KM}=\dfrac{AB}{AM}=\sin \phi \Rightarrow \phi=60-\phi \Rightarrow \boxed{\widehat{B}=30^\circ,\widehat{C}=60^\circ}$ .

Ορέστη, πολύ καλά!

Κάτι λιτό, χωρίς τριγωνομετρία;;

#5

rek2 έγραψε: Κυρ Σεπ 24, 2017 12:58 pm Στη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου $BMA,\,\, \measuredangle M=90^o,$ υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε:

$\measuredangle BAK=30^o,\,\,\,\dfrac{KD}{AB}=\dfrac{KM}{2AM},$

όπου η προβολή του στην υποτείνουσα

Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου

: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

Οι

τέμνονται στο

οπότε το

είναι εγγράψιμο και $\boxed{KM \cdot KB = KD \cdot KE}$ (1)

Από τα όμοια τρίγωνα AMB, BKD

είναι: $\displaystyle \frac{{AB}}{{KB}} = \frac{{AM}}{{KD}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AM = \frac{{KD \cdot AB}}{{KB}}}$ (2)

Αλλά από υπόθεση, $\displaystyle \frac{{KD}}{{AB}} = \frac{{KM}}{{2AM}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} KD = \frac{{KM \cdot KB}}{{2KD}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{KE=2KD=KA}$

Εύκολα τώρα το AEB

είναι ισόπλευρο και οι γωνίες του αρχικού τριγώνου είναι $\boxed{\widehat A=60^0, \widehat B=30^0}$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα σε όλους !

: 25-9-17 Γωνίες ορθογωνίου.PNG (7.02 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

Όπως ο Ορέστης παίρνουμε $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{KM}{AM}$ . Στο σχήμα είναι AE=AB

και $EZ\perp AMZ \Rightarrow EZ\parallel KM$ .

Τα τρίγωνα ZAE,MAK

είναι όμοια : $\dfrac{KM}{ZE}=\dfrac{AK}{AE}=\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{KM}{AM}$ άρα ZE=AM

.

Έτσι τα ορθ. ZAE,MAB

είναι ίσα. Έπεται $M\widehat{A}K=M\widehat{B}A=\varphi$

οπότε $2\varphi +30^{0}=90^{0}\Leftrightarrow \hat{B}=\varphi =30^{0}$ ...

Φιλικά , Γιώργος

Ιστοσελίδα · #7

rek2 έγραψε: Κυρ Σεπ 24, 2017 12:58 pm Στη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου $BMA,\,\, \measuredangle M=90^o,$ υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε:

$\measuredangle BAK=30^o,\,\,\,\dfrac{KD}{AB}=\dfrac{KM}{2AM},$

όπου η προβολή του στην υποτείνουσα

Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου

Η δοσμένη σχέση γίνεται $\dfrac{{AK}}{{KM}} = \dfrac{{AB}}{{AM}}$ , οπότε από εδώ τα $\triangleleft AKM, \triangleleft BAM$ είναι όμοια και εύκολα $\triangleleft BAM\,({30^ \circ }{,60^ \circ }{,90^ \circ })$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

rek2 έγραψε: Κυρ Σεπ 24, 2017 12:58 pm Στη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου $BMA,\,\, \measuredangle M=90^o,$ υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε:

$\measuredangle BAK=30^o,\,\,\,\dfrac{KD}{AB}=\dfrac{KM}{2AM},$

όπου η προβολή του στην υποτείνουσα

Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου

Θεωρώ σημείο $\displaystyle N$ στην $\displaystyle BM$ με $\displaystyle BN = MK$ .Είναι , $\displaystyle AK = 2DK$ οπότε $\displaystyle \frac{{KD}}{{AB}} = \frac{{KM}}{{2AM}} \Leftrightarrow AK \cdot AM = KM \cdot AB$

$\displaystyle 2\left( {AMK} \right) = 2\left( {ANB} \right) \Leftrightarrow AK \cdot AM\sin x = KM \cdot AB\sin B \Rightarrow \sin x = \sin B \Rightarrow \boxed{x = B}$

Τότε, $\displaystyle 2x + {30^0} = {90^0} \Rightarrow \boxed{x = \angle B = {{30}^0}} \Rightarrow \boxed{\angle A = {{60}^0}}$

: GOT.png (11.13 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Re: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Re: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Re: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Re: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Re: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Re: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Re: Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.

Μέλη σε σύνδεση