Δυο προτάσεις

#1

[attachment=0]Δύο προτάσεις.png[/attachment]

Σημείο

διατρέχει ημικύκλιο κέντρου

και διαμέτρου

.

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο

. Αν εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

τέμνει την ευθεία

στο

τότε Δείξετε:

1. $BC \cdot BD = BA \cdot BM$ και

2. $\dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: Παρ Απρ 20, 2018 8:26 pm Δύο προτάσεις.png

Σημείο διατρέχει ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου .

Έστω η προβολή του στη διάμετρο . Αν εφαπτομένη του ημικυκλίου στο τέμνει την ευθεία στο τότε Δείξετε:

1. $BC \cdot BD = BA \cdot BM$ και

2. $\dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}}$

Είναι, $\displaystyle \angle D = \angle {S_1} = \angle {S_2}$ και $\displaystyle MS \bot AS$ , $\displaystyle DS \bot CS$

Άρα, $\displaystyle S{B^2} = \boxed{BC \cdot BD = BA \cdot BM}$

Τα $\displaystyle C,D$ είναι συζυγή αρμονικά των $\displaystyle A,B$ .Επομένως

$\displaystyle \frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{DB}}{{DA}} \Rightarrow \frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{CB \cdot DB}}{{CA \cdot DA}} = \frac{{AB \cdot MB}}{{S{A^2}}} = \frac{{AB \cdot MB}}{{AB \cdot MB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}}$

: δυο προτάσεις.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

#3

Doloros έγραψε: Παρ Απρ 20, 2018 8:26 pm Δύο προτάσεις.png

Σημείο διατρέχει ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου .

Έστω η προβολή του στη διάμετρο . Αν εφαπτομένη του ημικυκλίου στο τέμνει την ευθεία στο τότε Δείξετε:

1. $BC \cdot BD = BA \cdot BM$ και

2. $\dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}}$

Κάτι παρόμοιο.

: Δύο προτάσεις.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

1) $\displaystyle S{M^2} = BM \cdot MA = BM(BM + BA) = B{M^2} + BM \cdot BA \Leftrightarrow$

$\displaystyle S{M^2} - B{M^2} = BM \cdot BA \Leftrightarrow S{B^2} = BM \cdot BA \Leftrightarrow$ $\boxed{BC \cdot BD = BM \cdot BA}$

2) Από θεώρημα διχοτόμου: $\displaystyle \frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{BS}}{{SA}} = \frac{{\sqrt {MB \cdot BA} }}{{\sqrt {BA \cdot MA} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}}$

Δυο προτάσεις

Δυο προτάσεις

Re: Δυο προτάσεις

Re: Δυο προτάσεις

Μέλη σε σύνδεση