Έγκεντρο ορθ. τριγώνου και..στο τέλος χρυσάφι

Γιώργος Μήτσιος · #1

Xαιρετώ.

: Πυθαγόρεια τριάδα και ..μέταλλο.PNG (9.14 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $AB=6..AC=8 .. \widehat{A}=90^{0}$ και

το έγκεντρον αυτού.

Ο κύκλος (I,IZ)

όπου $Z \in BC$ τέμνει την

στο

και την

ξανά στο

.

Ο κύκλος που ορίζουν τα B,A,Z

τέμνει την

και στο

. Αν είναι $\widehat{DHZ}=45^{0}$ τότε

Υπολογίστε τα μήκη των , και ...εκτιμήστε τον αριθμητικό μέσο αυτών.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Δευ Απρ 30, 2018 12:26 am Xαιρετώ.
Πυθαγόρεια τριάδα και ..μέταλλο.PNG
Το τρίγωνο έχει $AB=6..AC=8 .. \widehat{A}=90^{0}$ και το έγκεντρον αυτού.

Ο κύκλος όπου $Z \in BC$ τέμνει την στο και την ξανά στο .

Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει την και στο . Αν είναι $\widehat{DHZ}=45^{0}$ τότε

Υπολογίστε τα μήκη των , και ...εκτιμήστε τον αριθμητικό μέσο αυτών.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

$\displaystyle IE = \sqrt 5 ,EH = 1 \Rightarrow \frac{{IE + EH}}{2} = \Phi$

Θα επανέλθω για τη λύση...

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Δευ Απρ 30, 2018 12:26 am Xαιρετώ.
Πυθαγόρεια τριάδα και ..μέταλλο.PNG
Το τρίγωνο έχει $AB=6..AC=8 .. \widehat{A}=90^{0}$ και το έγκεντρον αυτού.

Ο κύκλος όπου $Z \in BC$ τέμνει την στο και την ξανά στο .

Ο κύκλος που ορίζουν τα τέμνει την και στο . Αν είναι $\widehat{DHZ}=45^{0}$ τότε

Υπολογίστε τα μήκη των , και ...εκτιμήστε τον αριθμητικό μέσο αυτών.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Πειράζω λίγο την κατασκευή του σχήματος και θα δείξω ότι είναι αυτό που δόθηκε από την εκφώνηση.

: Έγκεντρο και... χρυσάφι.png (21.82 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

Φέρνω κάθετη στη διχοτόμο

του τριγώνου που τέμνει την

στο

Εύκολα βρίσκω ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου

κύκλου είναι r=2,

οπότε $IA=IZ=2\sqrt 2.$ Ο κύκλος (I, IZ)

τέμνει ξανά την

στο

και την

στο

Η

είναι διάμετρος και το APH

ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα AP=AH=4.

Επίσης το

είναι ισοσκελές

κι επειδή $\displaystyle BP \cdot BA = BD \cdot BZ \Leftrightarrow AP = DZ = 4,$ οπότε $\displaystyle D\widehat IZ = P\widehat IA = {90^0} \Leftrightarrow D\widehat HZ = {45^0}.$

Εξάλλου, επειδή το BAZ

είναι ισοσκελές και το BAEZ

χαρταετός, ο κύκλος (B, A, Z)

διέρχεται από το

Επομένως η κατασκευή του σχήματος πληροί όλες τις υποθέσεις της εκφώνησης και αφού υπάρχει μόνο μία θέση του

ώστε $\boxed{D\widehat HZ=45^0}$ , το σχήμα είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Από τη διχοτόμο

βρίσκω

Είναι ακόμα AH=4,

$I\widehat AE=45^0,$ άρα ${\boxed{EH=1}$ και από νόμο συνημιτόνων

παίρνω $\boxed{IE=\sqrt 5}$ Ο αριθμητικός του μέσος είναι λοιπόν $\boxed{\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα. Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την λύση του παρόντος και κυρίως για τον (ευέλικτο !) τρόπο σκέψης-προσέγγισης
για να δείξει κανείς το λεπτό σημείο του θέματος :
ότι η

είναι διχοτόμος , ή μ' άλλα λόγια ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
Προτίθεμαι σε επόμενη δημοσίευση να δώσω και την προσωπική προσέγγιση-λύση...Φιλικά Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Χαιρετώ.Ας δείξουμε ότι τα σημεία B,I,E

είναι συνευθειακά . Οι υπολογισμοί στη συνέχεια ,όπως έχουν δοθεί πριν από τον Γιώργο.

: Έγκεντρο...χρυσάφι.PNG (15.52 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

Έχουμε $\widehat{DIZ}=2\widehat{DHZ}=90^{0}$ (σχέση επίκεντρης με εγγεγραμμένη στο ίδιο τόξο). Έτσι το τρίγωνο DIZ

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Τα τρίγωνα ICA,DIC

είναι ίσα αφού έχουν τις γωνίες τους ίσες και την κοινή

απέναντι από ίσες γωνίες. Έπεται IA=ID=IZ

Τώρα και τα BIA, BIZ

είναι ίσα καθότι έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις IA=IZ

ομόλογες (απέναντι από ίσες γωνίες).

Συνεπώς AB=BZ

. Ο κύκλος των B,A,E,Z

έχει την

διάμετρο
οπότε τα ABE,BEZ

είναι ορθογώνια με την

κοινή ενώ και AB=BZ

, άρα είναι ίσα.

Τότε $\widehat{ABE}=\widehat{EBZ}$ δηλ η

είναι διχοτόμος... Φιλικά Γιώργος.

Έγκεντρο ορθ. τριγώνου και..στο τέλος χρυσάφι

Έγκεντρο ορθ. τριγώνου και..στο τέλος χρυσάφι

Re: Έγκεντρο ορθ. τριγώνου και..στο τέλος χρυσάφι

Re: Έγκεντρο ορθ. τριγώνου και..στο τέλος χρυσάφι

Re: Έγκεντρο ορθ. τριγώνου και..στο τέλος χρυσάφι

Re: Έγκεντρο ορθ. τριγώνου και..στο τέλος χρυσάφι

Μέλη σε σύνδεση