Λόγος επιφανών!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.

: Λόγος ..επιφανών!.PNG (6.87 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές

Η

είναι διάμετρος του ημικυκλίου (με κέντρο το

) ενώ

είναι το μέσο του ,

το μέσο του τόξου

και

σημείο του τόξου

.

Φέρω $NF \perp OA$ και έστω

η τομή των NF,OP

. Αν το $\left ( OFI \right )$ είναι γεωμετρικός μέσος των $\left ( PAFI \right )$ και $\left ( PAO \right )$ τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος του εμβαδού του πράσινου τεταρτοκυκλίου προς το $\left ( POM \right )$

Ας το αφήσουμε για ώρες στους αγαπητούς μαθητές . Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Φεβ 13, 2019 12:54 am Καλημέρα.
Λόγος ..επιφανών!.PNG
Η είναι διάμετρος του ημικυκλίου (με κέντρο το ) ενώ είναι το μέσο του , το μέσο του τόξου και σημείο του τόξου .

Φέρω $NF \perp OA$ και έστω η τομή των . Αν το $\left ( OFI \right )$ είναι γεωμετρικός μέσος των $\left ( PAFI \right )$ και $\left ( PAO \right )$ τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος του εμβαδού του πράσινου τεταρτοκυκλίου προς το $\left ( POM \right )$

Ας το αφήσουμε για ώρες στους αγαπητούς μαθητές . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα!

: Λόγος επιφανών.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

$\displaystyle \frac{{(OFI)}}{{(PAO)}} = \frac{{(PAFI)}}{{(OFI)}} = \frac{{(PAO) - (OFI)}}{{(OFI)}} \Leftrightarrow \frac{{OI \cdot OF}}{{{R^2}}} = \frac{{{R^2}}}{{OI \cdot OF}} - 1$

Έστω $\displaystyle \frac{{{R^2}}}{{OI \cdot OF}} = x \Rightarrow {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$ Αλλά, $\displaystyle OF = FN = R\sqrt 2 ,$ οπότε:

$\displaystyle \frac{{{R^2}}}{{OI \cdot OF}} = \Phi \Leftrightarrow \frac{{O{F^2}}}{{2OI \cdot OF}} = \Phi \Leftrightarrow \sin (F\widehat IO) = \frac{{OF}}{{OI}} = \frac{\Phi }{2} \Leftrightarrow F\widehat IO = 54^\circ = M\widehat OP$

$\displaystyle \dfrac{{{E_{\tau \varepsilon \tau }}}}{{(POM)}} = \dfrac{{\dfrac{{\pi {R^2}}}{4}}}{{\dfrac{{{R^2}}}{2}\sin 54^\circ }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{{E_{\tau \varepsilon \tau }}}}{{(POM)}} = \frac{\pi }{\Phi }}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό μήνα σε όλους! Ακόμη ένα ευχαριστώ στον Γιώργο για την λύση στο παρόν θέμα.
Μια παρόμοια προσέγγιση:

: Λόγος ..επιφανών Β PNG.PNG (8.39 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

Αν για τα μεγέθη x-y..y..x

με

, το

είναι γεωμετρικός μέσος των x-y,x

τότε ισχύει $\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x-y}=\Phi$ (Ορισμός της χρυσής τομής).Συνεπώς στο παρόν έχουμε $\dfrac{\left ( PAO \right )}{\left ( OFI \right )}=\Phi =2\sigma \upsilon \nu 36^{0}..(1)$
Αν OA=OP=R

και $\widehat{AOP}=\omega$ έχουμε $OF^{2}=R^{2}/2$ και $FI=OF\cdot \varepsilon \varphi \omega$

οπότε $\dfrac{\left ( PAO \right )}{\left ( OFI \right )}=\dfrac{OA\cdot OP\eta \mu \omega/2 }{OF\cdot FI/2}=\dfrac{R^{2}\eta \mu \omega }{OF^{2}\varepsilon \varphi \omega }=2\sigma \upsilon \nu \omega ..(2)$ .

Προκύπτει $\omega =36^{0}\Rightarrow \widehat{POM}=54^{0}$ και τελικά $\boxed{\frac{E_{\tau \varepsilon \tau }}{\left ( POM \right )}=\frac{\pi }{\Phi }}$ ...λόγος ε $\pi$ ι $\Phi$ ανών! Φιλικά, Γιώργος.

Λόγος επιφανών!

Λόγος επιφανών!

Re: Λόγος επιφανών!

Re: Λόγος επιφανών!

Μέλη σε σύνδεση