Εμβαδόν περίκυκλου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους.Τις ευχές μου στον συντονιστή του φακέλου , Στάθη Κούτρα για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με ΥΓΕΙΑ!

: Εμβαδόν περίκυκλου.PNG (8.78 KiB) Προβλήθηκε 1766 φορές

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

η διαγώνιος

είναι διάμετρος του περίκυκλου ενώ η

διχοτόμος της $\widehat{A}$ .

Οι AC,BD

τέμνονται στο

. Αν είναι $AE=\sqrt{2} cm$ και $\left ( ABCD \right )=16 cm^{2}$ τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του περίκυκλου αυτού. Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Σεπ 22, 2019 2:03 am Καλημέρα σε όλους.Τις ευχές μου στον συντονιστή του φακέλου , Στάθη Κούτρα για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με ΥΓΕΙΑ!
Εμβαδόν περίκυκλου.PNG
Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο η διαγώνιος είναι διάμετρος του περίκυκλου ενώ η διχοτόμος της $\widehat{A}$ .

Οι τέμνονται στο . Αν είναι $AE=\sqrt{2} cm$ και $\left ( ABCD \right )=16 cm^{2}$ τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του περίκυκλου αυτού. Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο!

: Εμβαδόν περίκυκλου.png (16 KiB) Προβλήθηκε 1745 φορές

$\displaystyle 12\pi c{m^2}$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

#3

Θέτω : $CB = CD = x\,\,,\,\,AB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = b\,\,,\,\,EC = u$ .

Θ Πτολεμαίου στο ABCD

: $ax + by = x\sqrt 2 \left( {u + \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \boxed{a + b = 2 + u\sqrt 2 }\,\,(1)$

Με ύψωση στο τετράγωνο έχω:

${a^2} + {b^2} + 2ab = {\left( {2 + u\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow 2{x^2} + 2ab = {\left( {2 + u\sqrt 2 } \right)^2}$ .

Αλλά , $ab + {x^2} = 32$ και έτσι η προηγούμενη δίδει : $\boxed{u = 3\sqrt 2 }$ , ενώ η (1)

, $\boxed{a + b = 8}$

: Εμβαδόν περίλυκλου.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 1717 φορές

Θ. διχοτόμου στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD

: Λήμμα_εμβαδόν περ'ικυκλου.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 1709 φορές

( σαν άσκηση αφήνω το γιατί) : $\dfrac{{b\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a + b}}{a} \Rightarrow \boxed{ab = a + b = 8}$

Μετά απ’ αυτά βρίσκω εύκολα : $a = 4 + 2\sqrt 2 \,\,\,,\,\,b = 4 - 2\sqrt 2 \,\,\,,BD = 4\sqrt 3 \,\,,R = 2\sqrt 3$

$\boxed{E = 12\pi }$

#4

Έστω

Αν

είναι η ακτίνα του κύκλου. τότε $CD=CB=R\sqrt 2$ και EB=2R-x.

$\displaystyle (ABCD) = (CDB) + (ADB) = 16 \Leftrightarrow {R^2} + \frac{{AD \cdot AB}}{2} = 16 \Leftrightarrow$ $\boxed{AD\cdot AB=32-R^2}$ (1)

: Εμβαδόν περίκυκλου.ΙΙ.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 1704 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ADC, ACB

έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 2{R^2} = A{D^2} + A{C^2} - AD \cdot AC\sqrt 2 \\ \\ 2{R^2} = A{B^2} + A{C^2} - AB \cdot AC\sqrt 2 \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus 4{R^2} = 4{R^2} + 2A{C^2} - (AD + AB)AC\sqrt 2 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2AC = (AD + AB)\sqrt 2 \Rightarrow 2A{C^2} = A{D^2} + A{B^2} + 2AB \cdot AD\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} A{C^2} = 2{R^2} + 32 - 2{R^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle AC = 4\sqrt 2$ και $EC=3\sqrt 2,$ οπότε $\boxed{x(2R-x)= AE\cdot EC=12}$ (2)

Με θεώρημα $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο $CDB, 2{R^2}x + 2{R^2}(2R - x) = 36 + 2Rx(2R - x)\mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$

$\displaystyle 4{R^2} = 36 + 12 \Leftrightarrow R = 2\sqrt 3$ και το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\boxed{{E_k} = 12\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}$

Altrian · #5

Καλησπέρα σε όλους,

$(ABD)=(ABE)+(AED)=\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}\Rightarrow (ABD)^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2ab}{4}=\dfrac{4R^{2}+4(ABD)}{4} \Rightarrow (ABD)^{2}-(ABD)-R^{2}=0$ $\Rightarrow (ABD)=\dfrac{1+\sqrt{1+4R^{2}}}{2}$

Εχουμε όμως ότι: $(ABD)+(BCD)=16\Rightarrow \dfrac{1+\sqrt{1+4R^{2}}}{2}+R^{2}=16\Rightarrow ...\Rightarrow R^{2}=12$ .

Και τέλος το ζητούμενο εμβαδό του περίκυκλου είναι: $\pi*R^{2}=12\pi$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Χαιρετώ.Γιώργο, Νίκο και Αλέξανδρε σας ευχαριστώ για τις εξαιρετικές λύσεις!

: εμβαδόν περίκυκλου ΙΙ.PNG (6.95 KiB) Προβλήθηκε 1612 φορές

Αφορμή για τη δημιουργία του παρόντος ήταν ΑΥΤΟ το θέμα που μας δίνει $\left (AB+AD \right )^{2}=4\left ( ABCD \right )\Rightarrow AB+AD=8$ .

Από τον τύπο για την διχοτόμο ορθής παίρνουμε $AE=\dfrac{AB\cdot AD\sqrt{2}}{AB+AD}\Rightarrow AB\cdot AD=8$ .

Έτσι $BD^{2}=\left (AB+AD \right )^{2} -2AB\cdot AD \Rightarrow BD^{2}=48$ και $E_{k}=\pi \cdot BD^{2}/4=12\pi cm^{2}$ . Φιλικά , Γιώργος.

Εμβαδόν περίκυκλου

Εμβαδόν περίκυκλου

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

Μέλη σε σύνδεση