Ξεκλείδωμα σκάλας

KARKAR · #1

: Ξεκλείδωμα σκάλας.png (4.38 KiB) Προβλήθηκε 1348 φορές

Το

είναι τετράγωνο πλευράς

. Σκάλα μήκους $\ell$ στηρίζεται στο τοίχο , έτσι ώστε : BE<DF

.

Υπολογίστε το τμήμα

συναρτήσει των $a , \ell$ . Στο σχήμα είναι : a=2

και $\ell=6$ .

( Η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης : x^4+4x^3-28x^2+16x+16=0

, είναι η $x\simeq 2,9841$ )

Με αλλαγμένα νούμερα είναι η πολύ γνωστή άσκηση αυτή , η οποία τότε είχε δικαιολογημένα

κλειδωθεί , πλέον όμως ήρθε ο καιρός να ξεκλειδωθεί !

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιουν 13, 2020 12:50 pm Ξεκλείδωμα σκάλας.pngΤο είναι τετράγωνο πλευράς . Σκάλα μήκους $\ell$ στηρίζεται στο τοίχο , έτσι ώστε : .

Υπολογίστε το τμήμα συναρτήσει των $a , \ell$ . Στο σχήμα είναι : και $\ell=6$ .

( Η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης : , είναι η $x\simeq 2,9841$ )

Με αλλαγμένα νούμερα είναι η πολύ γνωστή άσκηση αυτή , η οποία τότε είχε δικαιολογημένα

κλειδωθεί , πλέον όμως ήρθε ο καιρός να ξεκλειδωθεί !

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και από την ομοιότητα των τριγώνων BEC, DCF

έχουμε:

: Ξεκλείδωμα σκάλας.png (6.49 KiB) Προβλήθηκε 1303 φορές

$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{y}{{6 - y}} \Leftrightarrow y = \frac{{6x}}{{x + 2}} \Leftrightarrow {x^2} + 4 = \frac{{36{x^2}}}{{{x^2} + 4x + 4}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x^4+4x^3-28x^2+16x+16=0}$

Η παραπάνω εξίσωση έχει δύο θετικές ρίζες. Δεχόμαστε την μεγαλύτερη από αυτές επειδή BE<DF.

Έτσι, $\displaystyle x = - 1 + \sqrt {10} + \sqrt 5 - \sqrt 2 \Rightarrow$ $\boxed{AF = 1 + \sqrt {10} + \sqrt 5 - \sqrt 2}$

#3

Λίγα λόγια για τη λύση της εξίσωσης $\displaystyle {x^4} + 4{x^3} - 28{x^2} + 16x + 16 = 0$

$\displaystyle {({x^2} + 4)^2} - 36{x^2} + 4x({x^2} + 4) = 0 \Leftrightarrow {({x^2} + 4)^2} + 4x({x^2} + 4) + 4{x^2} - 40{x^2} = 0$

$\displaystyle {({x^2} + 4 + 2x)^2} - {(2x\sqrt {10} )^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2(1 + \sqrt {10} )x + 4} \right)\left( {{x^2} + 2(1 - \sqrt {10} )x + 4} \right) = 0$

Από εδώ και κάτω είναι απλή.

KARKAR · #4

Γιώργο , η επίλυση αυτής της εξίσωσης , είναι θέμα κατά πολύ δυσκολότερο του αρχικού προβλήματος

Ξεκλείδωμα σκάλας

Ξεκλείδωμα σκάλας

Re: Ξεκλείδωμα σκάλας

Re: Ξεκλείδωμα σκάλας

Re: Ξεκλείδωμα σκάλας

Μέλη σε σύνδεση