Κατασκευή τετραπλεύρου...

#1

Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

: Κατασκευή τετραπλεύρου 1.png (17.79 KiB) Προβλήθηκε 2289 φορές

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

Κυριάκος Τσουρέκας · #2

Λημμα: Αν στο τραπεζιο ABCD

ισχυει οτι AB+CD=BC

τοτε οι διχοτομοι των γωνιων

και

τεμνονται καθετα στο μεσον της

Το λημμα αυτο ειναι βασικο και δεν θα γραψω αποδειξη.
Κανοντας το τραπεζιο αυτο να ειναι ισοσκελες, ειναι και εγγραψιμο αρα ισχυουν ολα τα ζητουμενα. Επισης, BC=AD=7

#3

Κυριάκος Τσουρέκας έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 1:04 pm Λημμα: Αν στο τραπεζιο ισχυει οτι τοτε οι διχοτομοι των γωνιων και τεμνονται καθετα στο μεσον της
Το λημμα αυτο ειναι βασικο και δεν θα γραψω αποδειξη.
Κανοντας το τραπεζιο αυτο να ειναι ισοσκελες, ειναι και εγγραψιμο αρα ισχυουν ολα τα ζητουμενα. Επισης,

Αρχικά να σε καλωσορίσω στο

Είναι πολύ ευχάριστο να έρχονται καινούργιοι μαθητές στο φόρουμ. Έχω δύο παρατηρήσεις, μία γεωμετρική και μία που αφορά στην ελληνική γλώσσα.

α) Στην παρούσα άσκηση ζητείται να κατασκευαστεί ένα τετράπλευρο και όχι τραπέζιο.
Άλλωστε όπως φαίνεται και στο σχήμα της εκφώνησης, το ABCD

δεν είναι τραπέζιο.
Χρειαζόμαστε λοιπόν μία κατασκευή γενικά για τετράπλευρο και όχι ειδικά για τραπέζιο.

β) Μονοτονικό σύστημα δεν σημαίνει ατονικό.

#4

KDORTSI έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 am Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

Κατασκευή τετραπλεύρου 1.png

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε. Ο περίκυκλος του SDC

επανατέμνει την

στο

: Κατασκευή τετραπλεύρου.ΚΔ.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 2161 φορές

Είναι $\displaystyle C\widehat TB = \frac{{\widehat D}}{2},\widehat B = 180^\circ - \widehat D \Rightarrow B\widehat CT = \frac{{\widehat D}}{2}.$ Άρα, BT=BC=2

και ομοίως βρίσκω AT=AD=5,

οπότε $\boxed{AB=7}$

Κατασκευή: Έστω AB=7

μία χορδή ενός κύκλου $(\omega).$ Οι κύκλοι (A, 5), (B,2)

τέμνουν τέμνουν τον $(\omega)$ στα

D, C

αντίστοιχα. Το ABCD

είναι ένα από τα τετράπλευρα που ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος. Το

πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις.

#5

KDORTSI έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 am Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

Κατασκευή τετραπλεύρου 1.png

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

Ακριβώς Γιώργο . Πάντα !

#6

Γιώργο, Νίκο και Κυριάκο ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το ανωτέρω
πρόβλημα.

Ιδιαίτερα ευχαριστώ το Γιώργο που έδωσε αυτή την απλή και χαρισματική
λύση κατά την οποία βρήκε πρώτα το τμήμα $\displaystyle{AB}$ και μετά έκανε την κατασκευή. Ο Νίκος
από την άλλη πλευρά "απόλαυσε" την απειρία των λύσεων δείχνοντας μερικές από αυτές με το
λογισμικό.

Εγώ θα ήθελα και κάτι ακόμα. Έτσι για να μια ακόμα περιπέτεια...

Στην εκφώνηση του προβλήματος έγραψα:

KDORTSI έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 am Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

Με άλλα λόγια:

Να κατασκευαστεί πρώτα το τετράπλευρο αυτό και μετά να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$

Πιστεύω ότι μια τέτοια διαδικασία έχει πιο πλούσιο ταξίδι..., δείτε το!

Κώστας Δόρτσιος

#7

KDORTSI έγραψε: Τετ Ιούλ 20, 2022 12:28 am Γιώργο, Νίκο και Κυριάκο ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το ανωτέρω
πρόβλημα.

Ιδιαίτερα ευχαριστώ το Γιώργο που έδωσε αυτή την απλή και χαρισματική
λύση κατά την οποία βρήκε πρώτα το τμήμα $\displaystyle{AB}$ και μετά έκανε την κατασκευή. Ο Νίκος
από την άλλη πλευρά "απόλαυσε" την απειρία των λύσεων δείχνοντας μερικές από αυτές με το
λογισμικό.

Εγώ θα ήθελα και κάτι ακόμα. Έτσι για να μια ακόμα περιπέτεια...

Στην εκφώνηση του προβλήματος έγραψα:

KDORTSI έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 am Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Με άλλα λόγια:

Να κατασκευαστεί πρώτα το τετράπλευρο αυτό και μετά να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$

Πιστεύω ότι μια τέτοια διαδικασία έχει πιο πλούσιο ταξίδι..., δείτε το!

Κώστας Δόρτσιος

Υποθέτω ότι υπάρχει εγράψιμο τετράπλευρο ABCD

με τις γωνίες στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ ορθές που εκπληρώνει και τις άλλες προϋποθέσεις.

Το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου DCF

, όπου

το σημείο τομής των $DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ .

Έστω r = AS

και

. Έστω ότι ο κύκλος $\left( {S,r} \right)$ εφάπτεται της

στο

και η

τέμνει την

στο

.

$\vartriangle ADS \approx \vartriangle CTD \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DS}} = \dfrac{{CT}}{{TD}} \Rightarrow \dfrac{5}{r} = \dfrac{{k + 2}}{{r + 5}} \Rightarrow k = \dfrac{{{r^2} + 5r}}{5} - 2\,\,\left( 1 \right)$ .

Αν ονομάσω με $x = DC = r + 5 \Leftrightarrow \boxed{r = x - 5}\,\,\left( 2 \right)$ και $\boxed{k = \frac{{x\left( {x - 5} \right)}}{5} - 2}\,\,\left( 3 \right)$ .

: Κατασκευή Τετραπλεύρου_Γεωμ_1.png (25.84 KiB) Προβλήθηκε 2014 φορές

Εφαρμόζω το Π. Θ. στα ορθογώνιο τρίγωνα $ADB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBD$ κι έχω :

$A{D^2} + A{B^2} = D{C^2} + C{B^2} \Rightarrow 25 + {\left( {k + r} \right)^2} = {x^2} + 4$ που λόγω των $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 3 \right)\,$ προκύπτει :

${x^4} - 95{x^2} + 1750 = 0$ με μόνη δεκτή ρίζα : $\boxed{x = DC = \sqrt {70} }$

Κατασκευάζω τον κύκλο , $\left( {D,B,C} \right)$ και μετά ο κύκλος $\left( {D,5} \right)$ τον τέμνει στο

( προς τη μεριά του

).

Τώρα αν προσθέσω κατά μέλη τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ έχω : $\boxed{AB = r + k = 7}$ .

Βρήκα ακόμη μια λύση γράφοντας του κύκλους : $\left( {A,D,S} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {B,C,S} \right)$ όμως ούτε κι αυτή μου αρέσει .

#8

KDORTSI έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 am Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

KDORTSI έγραψε: Τετ Ιούλ 20, 2022 12:28 am Γιώργο, Νίκο και Κυριάκο ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το ανωτέρω
πρόβλημα.

Ιδιαίτερα ευχαριστώ το Γιώργο που έδωσε αυτή την απλή και χαρισματική
λύση κατά την οποία βρήκε πρώτα το τμήμα $\displaystyle{AB}$ και μετά έκανε την κατασκευή. Ο Νίκος
από την άλλη πλευρά "απόλαυσε" την απειρία των λύσεων δείχνοντας μερικές από αυτές με το
λογισμικό.

Εγώ θα ήθελα και κάτι ακόμα. Έτσι για να μια ακόμα περιπέτεια...

Στην εκφώνηση του προβλήματος έγραψα:

KDORTSI έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 am Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Με άλλα λόγια:

Να κατασκευαστεί πρώτα το τετράπλευρο αυτό και μετά να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$

Πιστεύω ότι μια τέτοια διαδικασία έχει πιο πλούσιο ταξίδι..., δείτε το!

Κώστας Δόρτσιος

Νίκο καλησπέρα από Γρεβενά....

Κάπως αργά επανέρχομαι στην παλαιότερη αυτή άσκηση στην οποία ζήτησα, όπως γράφω παραπάνω, την κατασκευή πρώτα
του τετραπλεύρου αυτού και μετά τον υπολογισμό του τμήματος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

Κατασκευή του τετραπλεύρου

Εργαζόμαστε στο σχήμα 1.

: Κατ. τετραπλεύρου 1.png (22.5 KiB) Προβλήθηκε 1831 φορές

Η ιδέα που θα αναπτυχθεί είναι να κατασκευαστεί το τρίγωνο $\displaystyle{(MDC)}$ με έγκεντρο το σημείο $\displaystyle{S}$ και
να προσδιοριστεί ένα σημείο $\displaystyle{T}$ στην προέκταση της βάσης $\displaystyle{DC}$ τέτοιο ώστε αν το ενώσουμε με το
έγκεντρο $\displaystyle{S}$ να προσδιορίσουμε τις κορυφές $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ ώστε το τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ να είναι
το ζητούμενο.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#9

KDORTSI έγραψε: Κυρ Αύγ 21, 2022 6:57 pm Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

.........................................

Καλημέρα...

(Συνέχεια...)

: Κατ. τετραπλεύρου 1.png (25.31 KiB) Προβλήθηκε 1741 φορές

Εργαζόμενοι στο προηγούμενο σχήμα 1 και από το Θ. των διχοτόμων στο τρίγωνο $\displaystyle{MDC}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} MA'=\frac{cd}{m+d} & A'D=\frac{cm}{m+d} \\ \\ MB'=\frac{dc}{m+c}&B'C=\frac{dm}{m+c} \end {Bmatrix} \ \ (1) }$
x
Από το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{MCD}$ και με διατέμνουσα την $\displaystyle{ABT}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{MA}{AD}\cdot \frac{DT}{TC} \cdot \frac{CB}{BM}=1 \Rightarrow \frac{MA}{5} \cdot \frac{m+x}{x} \cdot \frac{2}{MB}=1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{m+x}{x}=\frac{5}{2} \cdot \frac{MB}{MA} \ \ (2) }$

Όμως από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{MAB, MDC}$ θα είναι ακόμα:

$\displaystyle{\frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MC}=\frac{d}{c} \ \ (3) }$

Άρα η (2) γίνεται:

$\displaystyle{ \frac{m+x}{x}=\frac{5}{2} \cdot \frac{c}{d} \ \ (4) }$

Επίσης από το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{A'DC}$ και με διατέμνουσα την $\displaystyle{AST}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{A'A}{AD} \cdot \frac{DT}{TC}\cdot \frac{CS}{SA'}=1 \Rightarrow \frac{A'A}{5} \cdot \frac{x+m}{x} \cdot \frac{CS}{SA'}=1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{x+m}{x}=\frac{5}{A'A} \cdot \frac{SA'}{CS}=\frac{5}{A'D-5} \cdot \frac{A'D}{DC} \ \ (4a) }$

καθόσον από το θεώρημα των διχοτόμων στο τρίγωνο $\displaystyle{DA'C}$ είναι:

$\displaystyle{ \frac{SA'}{CS}=\frac{A'D}{DC} }$

Τελικά η σχέση (4a) σύμφωνα και με τις σχέσεις (1) γίνεται:

$\displaystyle{ \frac{x+m}{x}=\frac{5}{\frac{mc}{m+d}-5} \cdot \frac{\frac{mc}{m+d}}{m} }$

και τελικά μετά από πράξεις έχουμε:

$\displaystyle{\frac{x+m}{x}=\frac{5c}{mc-5(m+d)} \ \ (5) }$

Από τις (4) καΙ (5) προκύπτει:

$\displaystyle{ mc-5m=7d \ \ (6a) }$

ή ισοδύναμα:

$\displaystyle{ m=\frac{7d}{c-5} \ \ (6b) }$

Επίσης από το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{DB'C}$ και με διατέμνουσα την $\displaystyle{SBT}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{BB'}{BC} \cdot \frac{CT}{TD} \cdot \frac{DS}{SB'}=1}$

και από τις σχέσεις (1) θα είναι:

$\displaystyle{ \frac{\frac{dm}{m+c}-2}{2} \cdot \frac{x}{m+x} \cdot \frac{m}{\frac{dm}{m+c}}=1 \Rightarrow \frac{m+x}{x}=\frac{dm-2(m+c)}{2d} \ \ (7)}$

Έτσι από την (7) και την (4) προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{5}{2} \cdot \frac{c}{d}=\frac{dm-2(m+c)}{2d} }$

Από αυτήν προκύπτουν τελικά οι ακόλουθες:

$\displaystyle{dm-2m=7c \ \ (8a) }$

και

$\displaystyle{m=\frac{7c}{d-2} \ \ (8b) }$

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#10

KDORTSI έγραψε: Κυρ Αύγ 21, 2022 6:57 pm Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

...................................................

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

Καλημέρα...

(Συνέχεια...)

Και πάλι εργαζόμαστε στο σχήμα 1.

: Κατ. τετραπλεύρου 1.png (25.31 KiB) Προβλήθηκε 1659 φορές

Από τις σχέσεις (6b) και ((8b) προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{7d}{c-5}=\frac{7c}{c-2} \ \ (9) }$

Η (9) δίνει:

$\displaystyle{d^2-2d-(c^2-5c)=0 \ \ (10) }$

Η (10) είναι ένα τριώνυμο ως προς $\displaystyle{d}$ με διακρίνουσα $\displaystyle{ D=4c^2-20c+4 }$ και αυτό ως νέο τριώνυμο

έχει διακρίνουσα $\displaystyle{D_1=400-64=336>0}$

Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι η (10) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για τις τιμές του $\displaystyle{c}$

οι οποίες ανήκουν εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{D=0}$ .

Αυτές είναι:

$\displaystyle{d_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4c^2-20c+4}}{2} \ \ (11) }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{d_1=1+\sqrt{c^2-5c+1} >0 \ \ (12)}$

και

$\displaystyle{d_2=1-\sqrt{c^2-5c+1} \ \ (12a) }$

Για να είναι δεκτή η $\displaystyle{d_2}$ εύκολα βρίσκουμε ότι πρέπει να είναι: $\displaystyle{0<c<5 / / (13) }$

Συμπέρασμα:

Από τις τιμές των (12) και (12a) και με τους αναφερθέντες περιορισμούς και με τον τύπο (6b) ή (8b)

υπολογίζουμε την τρίτη πλευρά $\displaystyle{AB=m}$ του ζητούμενου τριγώνου $\displaystyle{(MCD)}$ .

Οι τιμές της πλευράς $\displaystyle{m}$ που προκύπτουν από τους (6b) και (8b) ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα διότι:

$\displaystyle{m<c+d \Leftrightarrow \frac{7c}{d-2} <c+d \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow d^2+(c-2)c-9c>0 / / (13a) }$

η τελευταία από τις ανωτέρω έχει $\displaystyle{D=(c-2)^2+36c>0}$ που σημαίνει υπάρχουν τιμές της πλευράς $\displaystyle{d}$

που προκύπτουν από την (13a).

Έτσι από τον τύπο (4) προκύπτει για την πλευρά $\displaystyle{AB=m}$ η τιμή:

$\displaystyle{x=\frac{2dm}{5c-2d} \ \ (14) }$

Είναι $\displaystyle{x=(CT)}$ άρα το σημείο $\displaystyle{T}$ είναι κατασκευάσιμο.

Έτσι αφού κατασκευάστηκε το τρίγωνο $\displaystyle{MDC)}$ και το σημείο $\displaystyle{T}$ τότε αν φέρουμε την $\displaystyle{TS}$ , όπου $\displaystyle{S}$ το έγκεντρο του τριγώνου

$\displaystyle{(MDC)}$ , βρίσκουμε τα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ . Επομένως το ζητούμενο τετράπλευρο $\displaystyle{(ABCD)}$ κατασκευάστηκε. Είναι βέβαια το

ζητούμενο γιατί το Θ. Μενελάου που εφαρμόστηκε ισχύει και αντίστροφα.

Διερεύνηση:

Το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις καθώς από τις σχέσεις $\displaystyle{(11)}$ αναφέρθηκε η ισχύς αυτών για άπειρες τιμές της θετικής πλευράς $\displaystyle{c}$ .

Το σχήμα 1 έτσι κατασκευάστηκε.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#11

KDORTSI έγραψε: Κυρ Αύγ 21, 2022 6:57 pm Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

...................................................

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

(Συνέχεια...)

Υπολογισμός της πλευράς $\displaystyle{AB}$ (1ος τρόπος)

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κατασκευή τετραπλεύρου 4.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 1580 φορές

Είναι:

$\displaystyle{x(x+m)=(TB)[(TB)+l],\ \ (15) }$

όπου $\displaystyle{l=(AB) }$

Από Θεώρημα Μενελάσυ στο τρίγωνο $\displaystyle{(ADT)}$ και με διατέμνουσα την $\displaystyle{ C,B,M}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{m}{x}\cdot \frac{(TB)}{l} \cdot \frac{(MA)}{(MD)}=1 \ \ (16) }$

Από τη σχέση αυτή και από τις προηγούμενες (6b) και (14):

$\displaystyle{ m=\frac{7d}{c-5}, \ \ x=\frac{14d^2}{(c-5)(5c-2d)} \ \ (17) }$

καθώς επίσης και από τις:

$\displaystyle{MA=c-5, \ \ MD=c \ \ (18) }$

προκύπτει τελικά μετά από πράξεις:

$\displaystyle{(TB)=\frac{lcx}{m(c-5)} \ \ (19) }$

Έτσι ο τύπος (15) σύμφωνα με την (19) δίνει:

$\displaystyle{x(x+m)=\frac{lcx}{m(c-5)}[\frac{lcx}{m(c-5)}+l] }$

και μετά από πράξεις:

$\displaystyle{l^2=\frac{7^2d^2}{c^2-5c+2d} \ \ (20) }$

Όμως από τη σχέση (9) είναι:

$\displaystyle{\frac{7d}{c-5}=\frac{7c}{d-2} \Leftrightarrow d^2=c^2-5c+2d }$

Άρα από την (20) προκύπτει τελικά:

$\displaystyle{l=7}$

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#12

KDORTSI έγραψε: Δευ Σεπ 26, 2022 1:59 pm Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ τέτοιο ώστε να έχει:
$\displaystyle{AD=5, \ \ BC=2 }$ κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{C}}$ και $\displaystyle{\widehat{D}}$ να
τέμνονται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

...................................................

Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350

(Συνέχεια...)

Υπολογισμός της πλευράς $\displaystyle{AB}$ (1ος τρόπος)

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα σας...

Υπολογισμός της πλευράς $\displaystyle{AB}$ (2ος τρόπος)

Εργαζόμαστε στο ακόλοουθο σχήμα:

: Κατασκευή τετραπλεύρου 5.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 1433 φορές

Τα τρίγωνα $\displaystyle{(MAB)}$ και $\displaystyle{(MCD)}$ είναι όμοια. Άρα:

$\displaystyle{\frac{AB}{CD}=\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{l}{m}=\frac{c-5}{d}=\frac{d-2}{c} \Rightarrow }$

$\displaystyle{l=\frac{m(c-5)}{c}\overset{(6b)}{=}\frac{\frac{7d}{c-5}(c-5)}{d}=7 }$

Άρα:

$\displaystyle{(AB)=l=7 }$

Κώστας Δόρτσιος

Κατασκευή τετραπλεύρου...

Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...

Μέλη σε σύνδεση