Ισοσκελή και λόγοι

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!

: 6-4 Ισοσκελή και λόγοι.png (150.15 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Το σημείο

διατρέχει την διάμετρο του κύκλου , ενώ το

ανήκει στον κύκλο ώστε AN=AE

.

Η

τέμνει ξανά τον κύκλο στο

. Αν $\dfrac{AE}{EB}=k$ τότε: Ι) Να υπολογιστεί , ως συνάρτηση του ο λόγος $\dfrac{\left ( NEA \right )}{\left ( BEZ \right )}$

Και η γνωστή ..

.. χαρισμένη στους φίλους, εΦαρμογή:

ΙΙ) Αν $\widehat{BZE}=\theta$ και ισχύει $\left ( NEA \right )=2\left ( BEZ \right )$ να βρεθεί το $cos\theta$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Απρ 06, 2023 7:32 am Καλημέρα σε όλους!
6-4 Ισοσκελή και λόγοι.png
Το σημείο διατρέχει την διάμετρο του κύκλου , ενώ το ανήκει στον κύκλο ώστε .

Η τέμνει ξανά τον κύκλο στο . Αν $\dfrac{AE}{EB}=k$ τότε: Ι) Να υπολογιστεί , ως συνάρτηση του ο λόγος $\dfrac{\left ( NEA \right )}{\left ( BEZ \right )}$

Και η γνωστή .. .. χαρισμένη στους φίλους, εΦαρμογή:

ΙΙ) Αν $\widehat{BZE}=\theta$ και ισχύει $\left ( NEA \right )=2\left ( BEZ \right )$ να βρεθεί το $cos\theta$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο!

Θέτω EB=x,

οπότε

Έστω

η ακτίνα του κύκλου και F, H

οι προβολές των N, Z

αντίστοιχα στη διάμετρο. $\displaystyle AE + EB = 2R \Leftrightarrow (k + 1)x = 2R \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{2R}}{{k + 1}}}$ (1)

: Ισοσκελή και λόγοι.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

I) $\displaystyle E{Z^2} = B{Z^2} = \frac{x}{2} \cdot 2R\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} E{Z^2} = \frac{{{R^2}}}{{k + 1}}$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} EN \cdot EZ = AE \cdot EB = k{x^2} = \frac{{4k{R^2}}}{{{{(k + 1)}^2}}} \hfill \\ E{Z^2} = \frac{{{R^2}}}{{k + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{EN}}{{EZ}} = \frac{{2k}}{{k + 1}}}$ (2)

$\displaystyle \frac{{(NEA)}}{{(BEZ)}} = \frac{{AE \cdot EN}}{{EB \cdot EZ}} = \frac{{kEN}}{{EZ}}\mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$ $\boxed{ \frac{{(NEA)}}{{(BEZ)}} = \frac{{2{k^2}}}{{k + 1}}}$

II) $\displaystyle N\widehat AB = \theta \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{k}{{k + 1}}$

Αλλά, $\displaystyle \frac{{2{k^2}}}{{(k + 1)}} = 2 \Leftrightarrow k = \Phi,$ άρα $\boxed{ \cos \theta = \frac{1}{\Phi }}$

Ισοσκελή και λόγοι

Ισοσκελή και λόγοι

Re: Ισοσκελή και λόγοι

Μέλη σε σύνδεση