Ακτίνα κύκλου εντός ισοπλεύρου.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 88.png (10.02 KiB) Προβλήθηκε 946 φορές

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σ΄όλους τους Έλληνες.

Όταν πιστεύεις σε ιδανικά και κάνεις όνειρα, είσαι πάντα είκοσι χρονών.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.
Αν τα

και

είναι σημεία επαφής, να υπολογίσετε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 28, 2023 12:35 pm
88.png

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σ΄όλους τους Έλληνες.

Όταν πιστεύεις σε ιδανικά και κάνεις όνειρα, είσαι πάντα είκοσι χρονών.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Αν τα και είναι σημεία επαφής, να υπολογίσετε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου.

: ΤριγΚυκλος.png (5.58 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

'Esτω ότι

τότε η πλευρά του ισοπλεύρου είναι 5+x

. Από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ADC

έχουμε
$AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot\cos C \Rightarrow 7^2 = (5+x)^2 +x^2-2\cdot7\cdot x\cdot\frac{1}{2}$
Αν λύσουμε ως προς

βρίσκουμε

.
Άρα η πλευρά του ισοπλεύρου είναι

και το

είναι το μέσο της BC.
Άν

είναι το κέντρο του κύκλου και επειδή
$KE\bot BC$ το

είναι σημείο του ύψους $AE=\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3$ του ισοπλεύρου.
Έστω

η ζητούμενη ακτίνα, τότε από Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο AKZ

έχουμε
$AK^2=KZ^2+AZ^2 \Rightarrow (4\sqrt3-r)^2=6^2+r^2$ και
αν λύσουμε ως προς

βρίσκουμε ότι $r=\frac{\sqrt3}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 28, 2023 12:35 pm
88.png

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σ΄όλους τους Έλληνες.

Όταν πιστεύεις σε ιδανικά και κάνεις όνειρα, είσαι πάντα είκοσι χρονών.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Αν τα και είναι σημεία επαφής, να υπολογίσετε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου.

Αν η

κόψει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στο

και

θα ισχύουν

$5x=7y \Rightarrow y= \dfrac{5x}{7}$ και $(x+5)^2=7(7+ \dfrac{5x}{7} ) \Leftrightarrow x^2+5x-24=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow BE=EC=4 ,a=8$

Έτσι, $AE \bot BC$ συνεπώς A,O,E

συνευθειακά με

$AE=4 \sqrt{3}$ και $6^2=AH. 4 \sqrt{3} \Rightarrow AH=3 \sqrt{3} \Rightarrow 2r= \sqrt{3} \Rightarrow r= \dfrac{ \sqrt{3} }{2}$

: εύρεση ακτίνας.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 28, 2023 12:35 pm
88.png

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σ΄όλους τους Έλληνες.

Όταν πιστεύεις σε ιδανικά και κάνεις όνειρα, είσαι πάντα είκοσι χρονών.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Αν τα και είναι σημεία επαφής, να υπολογίσετε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου.

Επειδή τα εφαπτόμενα τμήματα προς κύκλο είναι ίσα, DE = DZ = 1

.

Το κέντρο

του κύκλου είναι το σημείο τομής του ύψους

του $\vartriangle ABC$ με την διχοτόμο της $\widehat {ADE}$ .

Άμεσες συνέπειες: $AB = BC = CA = 8\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,h = AE = 4\sqrt 3$ . Ας είναι

η ακτίνα του κύκλου.

: Ακτίνα κύκλου εντός ισοπλεύρου.png (25.6 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle ZAO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EAD$ έχουν κοινή την οξεία γωνία $\widehat {\theta _{}^{}}$ και άρα είναι όμοια .

$\dfrac{{ZA}}{{EA}} = \dfrac{{ZO}}{{ED}} \Rightarrow \dfrac{6}{h} = \dfrac{x}{1} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{6}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$
.

Ακτίνα κύκλου εντός ισοπλεύρου.

Ακτίνα κύκλου εντός ισοπλεύρου.

Re: Ακτίνα κύκλου εντός ισοπλεύρου.

Re: Ακτίνα κύκλου εντός ισοπλεύρου.

Re: Ακτίνα κύκλου εντός ισοπλεύρου.

Μέλη σε σύνδεση