Εμβαδόν τριγώνου

Ιστοσελίδα · #1

: shape.jpg (22.56 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου BED

.

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Παρ Δεκ 22, 2023 7:35 am shape.jpgΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .

: Εμβαδόν τριγώνου.ΜΝ2..png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

$\displaystyle \frac{X}{{207 + X}} = {\left( {\frac{{DE}}{{AC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{DEy}}{{ACy}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{126}}{{288}}} \right)^2} = \frac{{49}}{{256}} \Leftrightarrow$ $\boxed{X=49}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα στους φίλους!
Ας δείξουμε μια γενικότερη σχέση των εμβαδών.

: 23-12 Εμβαδόν τριγώνου Μ.Ν.png (202.21 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Στο σχήμα αν $DE \parallel AC$ και $\left ( CAD \right )=M , \left ( DEC \right )=N$ τότε: $\left ( BED \right )=X=\dfrac{N^{2}}{M-N}$

Πράγματι: Τα τρίγωνα CAD,DEC

έχουν ίσα ύψη (αφού $DE \parallel AC$ ) άρα $\dfrac{N}{M}=\dfrac{DE}{CA}$ .

Από τα όμοια BED,BAC

παίρνουμε $\dfrac{X}{M+N+X}=\left ( \dfrac{DE}{CA} \right )^{2}=\dfrac{N^{2}}{M^{2}}$ .

Προκύπτει τελικά $\left ( BED \right )=X=\dfrac{N^{2}}{M-N}$

Στο αρχικό πρόβλημα έχουμε προφανώς $DE \parallel AC$ και M=144, N=63

οπότε $\left ( BED \right )=\dfrac{63^{2}}{144-63}=49$

Τέλος μια ..

.. γνωστή εφαρμογή: Στο ως άνω σχήμα αν $\left ( CAD \right )=\Phi ^{3}$ και $\left ( DEC \right )=\Phi$
(όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός) , τότε $\left ( BED \right )=\dfrac{\Phi ^{2}}{\Phi^{3}-\Phi }\Rightarrow \boxed{\left ( BED \right )=1}$

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ σε όλους! Φιλικά, Γιώργος.

#4

Στέλνοντας ευχές στους αγαπητούς φίλους, μια ακόμα προσέγγιση:

: 23-12-2023 Γεωμετρία.jpg (23.11 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} xy = 288\\ ty = 126 \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{16}}{7}t$

Από την ομοιότητα των BED, ABC

είναι $\displaystyle \frac{t}{x} = \frac{v}{{y + v}} \Leftrightarrow ty + tv = vx$

και με τις παραπάνω ισότητες, έχουμε $\displaystyle 126 + tv = \frac{{16}}{7}tv \Leftrightarrow tv = 98 \Rightarrow E = 49$

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση